Enuncie o teste da integral para convergência de séries. (0,5pt)
Passo 1
O enunciado pede para apresentarmos o Teste da Integral para determinar a convergência de uma série numérica. Vamos considerar uma série
cujo termo geral pode ser escrito como
, onde
é uma função adequada.
Passo 2
Para aplicar o teste, assumimos que
satisfaz:
-
é contínua em . -
é positiva em . -
é decrescente em .
Construindo retângulos sob o gráfico de
, obtemos as desigualdades para todo
:
Passo 3
Das desigualdades acima segue que os limites
e
ou convergem simultaneamente ou divergem simultaneamente.
ou convergem simultaneamente ou divergem simultaneamente.
Resposta
O Teste da Integral afirma:
Seja
contínua, decrescente e definamos
.
Então a série
Então a série
converge se, e somente se, a integral imprópria
converge. Além disso, para todo
valem