Enuncie o teste da integral para convergência de séries. (0,5pt)

Passo 1

O enunciado pede para apresentarmos o Teste da Integral para determinar a convergência de uma série numérica. Vamos considerar uma série \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} cujo termo geral pode ser escrito como a_{n}=f(n), onde f é uma função adequada.

Passo 2

Para aplicar o teste, assumimos que f satisfaz:
  1. f é contínua em [1,\infty).
  2. f é positiva em [1,\infty).
  3. f é decrescente em [1,\infty).
Construindo retângulos sob o gráfico de f, obtemos as desigualdades para todo N\ge1:
\int_{1}^{N+1}f(x)\,dx\;\le\;\sum_{n=1}^{N}a_{n} \;\le\;a_{1}+\int_{1}^{N}f(x)\,dx.

Passo 3

Das desigualdades acima segue que os limites
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n} e \int_{1}^{\infty}f(x)\,dx
ou convergem simultaneamente ou divergem simultaneamente.

Resposta

O Teste da Integral afirma:
Seja f:[1,\infty)\to\mathbb{R}^{+} contínua, decrescente e definamos a_{n}=f(n).
Então a série
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}
converge se, e somente se, a integral imprópria
\int_{1}^{\infty}f(x)\,dx
converge. Além disso, para todo N\ge1 valem
\int_{1}^{N+1}f(x)\,dx\;\le\;\sum_{n=1}^{N}a_{n}\;\le\;a_{1}+\int_{1}^{N}f(x)\,dx.

Exercícios relacionados