Calcule.
\int\left(\operatorname{tg} 2 x+3 \cos 4 x+x \cos \left(x^{2}\right)\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int\bigl(\tan(2x)+3\cos(4x)+x\cos(x^{2})\bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é integração de soma de funções, então vamos usar a linearidade para separar em três integrais:
\int\tan(2x)\,dx,\quad \int3\cos(4x)\,dx,\quad \int x\cos(x^{2})\,dx.

Passo 2

Para \displaystyle \int\tan(2x)\,dx usamos a fórmula
\int\tan(ax)\,dx=-\frac{1}{a}\ln\bigl|\cos(ax)\bigr|+C.
Aqui a=2, logo
\int\tan(2x)\,dx=-\frac{1}{2}\ln\bigl|\cos(2x)\bigr|+C_{1}.

Passo 3

Para \displaystyle \int3\cos(4x)\,dx fatoramos o 3:
3\int\cos(4x)\,dx.
Sabemos que \int\cos(4x)\,dx=\tfrac{1}{4}\sin(4x), portanto
3\int\cos(4x)\,dx =3\cdot\frac{1}{4}\sin(4x) =\frac{3}{4}\sin(4x)+C_{2}.

Passo 4

Para \displaystyle \int x\cos(x^{2})\,dx fazemos a substituição
u = x^{2} \quad\Longrightarrow\quad du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Assim
\int x\cos(x^{2})\,dx =\frac{1}{2}\int\cos(u)\,du =\frac{1}{2}\sin(u)+C_{3} =\frac{1}{2}\sin\bigl(x^{2}\bigr)+C_{3}.

Passo 5

Juntando as três partes e absorvendo as constantes C_{1},C_{2},C_{3} em uma única C, obtemos
\int\bigl(\tan(2x)+3\cos(4x)+x\cos(x^{2})\bigr)\,dx =-\frac{1}{2}\ln\bigl|\cos(2x)\bigr| +\frac{3}{4}\sin(4x) +\frac{1}{2}\sin\bigl(x^{2}\bigr) +C.

Resposta

-\frac{1}{2}\ln\bigl|\cos(2x)\bigr| +\frac{3}{4}\sin(4x) +\frac{1}{2}\sin\bigl(x^{2}\bigr) +C.

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