Nas funções mostradas: (a) Esboce o gráfico da função para 3 períodos e, (b) Encontre a série de Fourier da função.
Passo 1
O enunciado pede pra gente desenhar o gráfico de uma função periódica de período 4 definida por partes em [-2,0) e [0,2), e depois achar sua série de Fourier. O conteúdo é expansão em série trigonométrica, e vamos precisar usar as fórmulas dos coeficientes a₀, aₙ e bₙ para uma função de período T=4 (ou seja, L=2).
Passo 2
Para esboçar o gráfico em 3 períodos, note que em cada intervalo [-2+4k,0+4k) temos uma reta f(x) = -x/2 inclinada positivamente, e em [0+4k,2+4k) temos uma parábola côncava para baixo f(x)=2x - x²/2. Basta repetir estes dois pedaços para k = -1, 0, 1 e conectar nos pontos x = -2+4k,0+4k,2+4k.
Passo 3
As fórmulas gerais para o desenvolvimento em série de Fourier numa função de período 2L (aqui 2L=4, L=2) são:
Passo 4
Para achar a₀, dividimos a integral em [-2,0] e [0,2]:
Somando dá
Passo 5
Para calcular aₙ, escrevemos
Fazendo integração por partes em cada pedaço e usando
Passo 6
De modo análogo, para bₙ:
que, após integrar por partes e usar
Passo 7
Finalmente, a série de Fourier fica escrita como
Passo 8
Substituindo os coeficientes achados, obtemos a expansão completa.
Resposta
$$
f(x)=\frac{11}{12}+\sum_{n=1}\infty\Biggl[\frac{(-1)n-5}{n2\pi2}\cos\Bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\Bigr)+\Bigl(-\frac{(-1)n}{n\pi}+\frac{4\bigl(1-(-1)n\bigr)}{n3\pi3}\Bigr)\sin\Bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\Bigr)\Biggr].$$