Nas funções mostradas: (a) Esboce o gráfico da função para 3 períodos e, (b) Encontre a série de Fourier da função.
f(x)=cl-12 x & -2 <= x<0 2 x-12 x^2 0 <= x<2 f(x+4)=f(x)

Passo 1

O enunciado pede pra gente desenhar o gráfico de uma função periódica de período 4 definida por partes em [-2,0) e [0,2), e depois achar sua série de Fourier. O conteúdo é expansão em série trigonométrica, e vamos precisar usar as fórmulas dos coeficientes a₀, aₙ e bₙ para uma função de período T=4 (ou seja, L=2).

Passo 2

Para esboçar o gráfico em 3 períodos, note que em cada intervalo [-2+4k,0+4k) temos uma reta f(x) = -x/2 inclinada positivamente, e em [0+4k,2+4k) temos uma parábola côncava para baixo f(x)=2x - x²/2. Basta repetir estes dois pedaços para k = -1, 0, 1 e conectar nos pontos x = -2+4k,0+4k,2+4k.

Passo 3

As fórmulas gerais para o desenvolvimento em série de Fourier numa função de período 2L (aqui 2L=4, L=2) são:
a0 = 1L integral-L^L f(x),dx, an = 1L integral-L^L f(x)cosl(tfracnpi xLr),dx, bn = 1L integral-L^L f(x)sinl(tfracnpi xLr),dx

Passo 4

Para achar a₀, dividimos a integral em [-2,0] e [0,2]:
integral-2^0 l(-tfrac x2r)dx = 1, integral0^2 l(2x-tfracx^22r)dx = tfrac83
Somando dá 11/3, e como a0=tfrac12integral-2^2f(x)dx obtemos a0=11/6.

Passo 5

Para calcular aₙ, escrevemos
an=tfrac12l(integral-2^0(-tfrac x2)cos(tfracnpi x2)dx + integral0^2(2x-tfracx^22)cos(tfracnpi x2)dxr)
Fazendo integração por partes em cada pedaço e usando cos(npi)=(-1)^n, chega-se a
an=(-1)^n-5n^2pi^2

Passo 6

De modo análogo, para bₙ:
bn=tfrac12l(integral-2^0(-tfrac x2)sin(tfracnpi x2)dx + integral0^2(2x-tfracx^22)sin(tfracnpi x2)dxr),
que, após integrar por partes e usar sin(npi)=0 e cos(npi)=(-1)^n, resulta em
bn=-(-1)^nnpi+4l(1-(-1)^nr)n^3pi^3

Passo 7

Finalmente, a série de Fourier fica escrita como
f(x)=a02+sumn=1^inftyl(ancos(tfracnpi x2)+bnsin(tfracnpi x2)r)

Passo 8

Substituindo os coeficientes achados, obtemos a expansão completa.

Resposta

$$
f(x)=\frac{11}{12}+\sum_{n=1}\infty\Biggl[\frac{(-1)n-5}{n2\pi2}\cos\Bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\Bigr)+\Bigl(-\frac{(-1)n}{n\pi}+\frac{4\bigl(1-(-1)n\bigr)}{n3\pi3}\Bigr)\sin\Bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\Bigr)\Biggr].$$

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