Um n’umero real x satisfaz |x+1|<2. Mostre que
\left|(x+1)^{2}-(x+1)\right|<6

Passo 1

O enunciado diz que temos um número real x tal que
|x+1|<2
e pede para mostrar que
\bigl|(x+1)^{2}-(x+1)\bigr|<6.
O conteúdo é manipulação de valor absoluto e uso da desigualdade triangular.

Passo 2

Para simplificar, definimos
y = x+1.
Então a hipótese fica
|y|<2,
e o que queremos provar passa a ser
\bigl|y^{2}-y\bigr|<6.

Passo 3

Reescrevemos a expressão dentro do valor absoluto como produto:
\bigl|y^{2}-y\bigr| = |y(y-1)| = |y|\;\bigl|y-1\bigr|.

Passo 4

Aplicamos a desigualdade triangular para \bigl|y-1\bigr|:
\bigl|y-1\bigr| \le |y| + |1| < 2 + 1 = 3.
Além disso já temos |y|<2. Logo
|y|\;\bigl|y-1\bigr| < 2 \times 3 = 6.

Resposta

\bigl|(x+1)^{2}-(x+1)\bigr|<6.

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