Enuncie, Demonstre e dê dois exemplos do teste da comparação para Séries. \square

Passo 1

O que o enunciado pede: enunciar o teste da comparação para séries, demonstrá-lo (provar) e dar dois exemplos aplicando o teste.
Informações relevantes que temos: não há dados numéricos específicos além do pedido; entendemos que lidaremos com séries de termos reais não-negativos \{a_n\} e \{b_n\}. Não começarei a resolver/provar ainda — apenas deixei claro o que é pedido.

Passo 2

Enuncie (forma direta, chamada também de comparação com majorante/minorante):
Sejam \{a_n\} e \{b_n\} sequências de termos não-negativos, ou seja, a_n\ge 0 e b_n\ge 0 para todo n. Então vale:
  1. (Comparação por majorante — teste de convergência) Se existir N tal que, para todo n\ge N,
0\le a_n \le b_n
e a série \sum_{n=1}^{\infty} b_n converge, então a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n também converge.
  1. (Comparação por minorante — teste de divergência) Se existir N tal que, para todo n\ge N,
0\le b_n \le a_n
e a série \sum_{n=1}^{\infty} b_n diverge, então a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n também diverge.
Enuncie (forma do limite — teste da comparação por razão limite):
Sejam a_n>0 e b_n>0 para todo n. Se existir o limite
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = L,
com 0 < L < +\infty, então \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem, ou ambas divergem.
(Nas duas formas, explicando as variáveis: a_n e b_n são os termos das séries que estamos comparando; as desigualdades são termo a termo para índices grandes.)

Passo 3

Conceitos úteis que vou usar na demonstração (explicadinhos):
  • Série: \sum_{n=1}^{\infty} a_n tem somatórios parciais S_N=\sum_{n=1}^{N} a_n. Dizemos que a série converge se \lim_{N\to\infty} S_N existe e é finito.
  • Sequência crescente e limitada converge: se uma sequência \{S_N\} é monotonicamente crescente e é limitada superiormente, então ela converge (teorema básico de análise real). Isso será usado na prova de convergência por majorante.
  • Para divergência, se para índices grandes os somatórios parciais de uma série A_N são maiores ou iguais que os de uma série que diverge, então A_N\to\infty e a série diverge.

Passo 4

Demonstração do item 1 (comparação por majorante — prova de convergência):
Dados a_n\ge 0 e b_n\ge 0 com a_n \le b_n para todo n\ge N, e supondo que \sum b_n converge. Defina os somatórios parciais
A_M = \sum_{n=1}^{M} a_n,\qquad B_M = \sum_{n=1}^{M} b_n.
Como a_n\ge 0, a sequência \{A_M\} é monotonicamente crescente (cada termo parcial aumenta quando somamos um termo não-negativo). O mesmo vale para \{B_M\}. Para M\ge N temos termo a termo a_n\le b_n, logo somando do n=1 até M obtemos
A_M \le B_M.
Como \sum b_n converge, a sequência \{B_M\} é limitada superiormente por seu limite finito B=\lim_{M\to\infty}B_M. Logo para todo M\ge N, A_M \le B_M \le B. Assim \{A_M\} é crescente e limitada superiormente por B, e portanto converge. Conclusão: \sum a_n converge.
Observação didática: a prova é só juntar duas ideias simples — desigualdade termo a termo passa para as somas parciais, e sequência crescente limitada converge.

Passo 5

Demonstração do item 2 (comparação por minorante — prova de divergência):
Agora suponha 0\le b_n \le a_n para n\ge N e que \sum b_n diverge. Seja B_M=\sum_{n=1}^{M} b_n. Como \sum b_n diverge, temos \lim_{M\to\infty} B_M = +\infty. Para M\ge N,
A_M = \sum_{n=1}^{M} a_n \ge \sum_{n=1}^{M} b_n = B_M.
Como B_M\to +\infty, segue A_M\to +\infty. Portanto \sum a_n diverge.
Didática: aqui a ideia é que se cada termo de a_n é pelo menos cada termo de uma série cuja soma parcial vai para infinito, então a soma parcial de a_n também vai para infinito.

Passo 6

Demonstração do teste da comparação por limite:
Suponha a_n>0,b_n>0 e \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}=L com 0<L<\infty. Pelo significado do limite, existe N tal que para todo n\ge N,
\frac{L}{2} \le \frac{a_n}{b_n} \le \frac{3L}{2},
por exemplo (ou, de forma geral, existem constantes positivas c e C com 0<c\le \dfrac{a_n}{b_n}\le C para n grande). Multiplicando por b_n obtemos
c\,b_n \le a_n \le C\,b_n\qquad\text{para todo }n\ge N,
com c>0 e C>0. Agora aplicamos a comparação direta: se \sum b_n converge então, por a_n\le C b_n e pelo teste de majorante, \sum a_n converge; se \sum b_n diverge então, por a_n\ge c b_n e pelo teste de minorante, \sum a_n diverge. Assim ambos têm o mesmo comportamento.
Observação: o caso L=0 ou L=+\infty pede cuidado — o teste por limite com L=0 permite concluir convergência de \sum a_n se \sum b_n converge, mas não permite concluir divergência; e L=+\infty é o caso oposto. Por isso a hipótese 0<L<\infty é a mais limpa: comportamento igual.

Passo 7

Exemplo 1 (convergência usando comparação direta; primeiro exemplo pedido):
Mostremos que a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+n}
converge. Observação: peguei o termo diretamente do enunciado do exemplo (não havia figura). Para n\ge 1 temos
0<\frac{1}{n^2+n} = \frac{1}{n(n+1)} \le \frac{1}{n^2},
porque n(n+1)\ge n^2 e portanto seu inverso é menor ou igual a 1/n^2. Sabemos (teorema padrão) que a série p com p=2
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}
converge (é a série p com p>1). Aplicando o teste de comparação por majorante, como 0\le 1/(n^2+n)\le 1/n^2 e \sum 1/n^2 converge, concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+n}
converge.
Dica prática: sempre que algo tem termo do tipo \dfrac{1}{\text{polinômio de } n}ô, compare com \dfrac{1}{n^p} onde p é o grau do polinômio.

Passo 8

Exemplo 2 (divergência usando comparação por limite — segundo exemplo pedido):
Considere a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+\sqrt{n}}.
Queremos decidir se converge ou diverge. Compare com a série harmônica \sum 1/n, que diverge. Calcule o limite de razões:
\lim_{n\to\infty} \frac{\dfrac{1}{n+\sqrt{n}}}{\dfrac{1}{n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{n+\sqrt{n}}.
Dividindo numerador e denominador por n,
\lim_{n\to\infty} \frac{1}{1+1/\sqrt{n}} = 1.
Como o limite L=1 satisfaz 0<L<\infty, pelo teste da comparação por limite, \sum \dfrac{1}{n+\sqrt{n}} e \sum \dfrac{1}{n} têm o mesmo comportamento. Como \sum 1/n diverge (série harmônica), concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+\sqrt{n}}
também diverge.
Alternativa usando comparação direta (opcional): para n grande temos n+\sqrt{n}\le 2n, logo \dfrac{1}{n+\sqrt{n}}\ge \dfrac{1}{2n}, e como \sum 1/(2n) diverge, a divergência segue por comparação por minorante.

Passo 9

Observações finais (dicas para a prova e para a hora da prova):
  • Sempre verifique sinais: o teste da comparação exige termos não-negativos. Se os termos não forem não-negativos, há outros testes (teste de Dirichlet, Abel, etc.).
  • Quando vir termos racionais com polinômios, compare com \dfrac{1}{n^p} (p-series). Lembre-se: \sum 1/n^p converge se, e só se, p>1.
  • Se for difícil achar uma desigualdade direta, tente o teste do limite (compare razões). É normalmente mais flexível.
  • Na prova escreva explicitamente a passagem das desigualdades para as somas parciais e mencione o teorema “sequência monotônica limitada converge”.

Resposta

Enunciado: Se 0\le a_n\le b_n para n grande e \sum b_n converge, então \sum a_n converge; se 0\le b_n\le a_n e \sum b_n diverge então \sum a_n diverge. Se a_n,b_n>0 e \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}=L com 0<L<\infty, então \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento.
Demonstração: provadas nos passos acima — passa-se das desigualdades termo a termo para as somas parciais e usa-se que sequência crescente limitada converge; para o teste do limite obtém-se constantes c,C>0 a partir do limite e aplica-se a comparação direta.
Exemplo 1: \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+n} converge, pois 0<\dfrac{1}{n^2+n}\le\dfrac{1}{n^2} e \sum 1/n^2 converge.
Exemplo 2: \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+\sqrt{n}} diverge, pois \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n+\sqrt{n}}}{\frac{1}{n}}=1 e \sum 1/n diverge (logo pelo teste da comparação por limite a série diverge).

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