Enuncie, Demonstre e dê dois exemplos do teste da comparação para Séries.
Passo 1
O que o enunciado pede: enunciar o teste da comparação para séries, demonstrá-lo (provar) e dar dois exemplos aplicando o teste.
Informações relevantes que temos: não há dados numéricos específicos além do pedido; entendemos que lidaremos com séries de termos reais não-negativos e
. Não começarei a resolver/provar ainda — apenas deixei claro o que é pedido.
Informações relevantes que temos: não há dados numéricos específicos além do pedido; entendemos que lidaremos com séries de termos reais não-negativos
Passo 2
Enuncie (forma direta, chamada também de comparação com majorante/minorante):
Sejam
e
sequências de termos não-negativos, ou seja,
e
para todo
. Então vale:
- (Comparação por majorante — teste de convergência) Se existir
tal que, para todo ,
e a série
converge, então a série
também converge.
- (Comparação por minorante — teste de divergência) Se existir
tal que, para todo ,
e a série
diverge, então a série
também diverge.
Enuncie (forma do limite — teste da comparação por razão limite):
Sejam
e
para todo
. Se existir o limite
com
, então
e
têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem, ou ambas divergem.
(Nas duas formas, explicando as variáveis:
e
são os termos das séries que estamos comparando; as desigualdades são termo a termo para índices grandes.)
Passo 3
Conceitos úteis que vou usar na demonstração (explicadinhos):
- Série:
tem somatórios parciais . Dizemos que a série converge se existe e é finito. - Sequência crescente e limitada converge: se uma sequência
é monotonicamente crescente e é limitada superiormente, então ela converge (teorema básico de análise real). Isso será usado na prova de convergência por majorante. - Para divergência, se para índices grandes os somatórios parciais de uma série
são maiores ou iguais que os de uma série que diverge, então e a série diverge.
Passo 4
Demonstração do item 1 (comparação por majorante — prova de convergência):
Dados
e
com
para todo
, e supondo que
converge. Defina os somatórios parciais
Como
, a sequência
é monotonicamente crescente (cada termo parcial aumenta quando somamos um termo não-negativo). O mesmo vale para
. Para
temos termo a termo
, logo somando do
até
obtemos
Como
converge, a sequência
é limitada superiormente por seu limite finito
. Logo para todo
,
. Assim
é crescente e limitada superiormente por
, e portanto converge. Conclusão:
converge.
Observação didática: a prova é só juntar duas ideias simples — desigualdade termo a termo passa para as somas parciais, e sequência crescente limitada converge.
Passo 5
Demonstração do item 2 (comparação por minorante — prova de divergência):
Agora suponha
para
e que
diverge. Seja
. Como
diverge, temos
. Para
,
Como
, segue
. Portanto
diverge.
Didática: aqui a ideia é que se cada termo de
é pelo menos cada termo de uma série cuja soma parcial vai para infinito, então a soma parcial de
também vai para infinito.
Passo 6
Demonstração do teste da comparação por limite:
Suponha
e
com
. Pelo significado do limite, existe
tal que para todo
,
por exemplo (ou, de forma geral, existem constantes positivas
e
com
para
grande). Multiplicando por
obtemos
com
e
. Agora aplicamos a comparação direta: se
converge então, por
e pelo teste de majorante,
converge; se
diverge então, por
e pelo teste de minorante,
diverge. Assim ambos têm o mesmo comportamento.
Observação: o caso
ou
pede cuidado — o teste por limite com
permite concluir convergência de
se
converge, mas não permite concluir divergência; e
é o caso oposto. Por isso a hipótese
é a mais limpa: comportamento igual.
Passo 7
Exemplo 1 (convergência usando comparação direta; primeiro exemplo pedido):
Mostremos que a série
converge. Observação: peguei o termo diretamente do enunciado do exemplo (não havia figura). Para
temos
porque
e portanto seu inverso é menor ou igual a
. Sabemos (teorema padrão) que a série p com
converge (é a série p com
). Aplicando o teste de comparação por majorante, como
e
converge, concluímos que
converge.
Dica prática: sempre que algo tem termo do tipo
, compare com
onde
é o grau do polinômio.
Passo 8
Exemplo 2 (divergência usando comparação por limite — segundo exemplo pedido):
Considere a série
Queremos decidir se converge ou diverge. Compare com a série harmônica
, que diverge. Calcule o limite de razões:
Dividindo numerador e denominador por
,
Como o limite
satisfaz
, pelo teste da comparação por limite,
e
têm o mesmo comportamento. Como
diverge (série harmônica), concluímos que
também diverge.
Alternativa usando comparação direta (opcional): para
grande temos
, logo
, e como
diverge, a divergência segue por comparação por minorante.
Passo 9
Observações finais (dicas para a prova e para a hora da prova):
- Sempre verifique sinais: o teste da comparação exige termos não-negativos. Se os termos não forem não-negativos, há outros testes (teste de Dirichlet, Abel, etc.).
- Quando vir termos racionais com polinômios, compare com
(p-series). Lembre-se: converge se, e só se, . - Se for difícil achar uma desigualdade direta, tente o teste do limite (compare razões). É normalmente mais flexível.
- Na prova escreva explicitamente a passagem das desigualdades para as somas parciais e mencione o teorema “sequência monotônica limitada converge”.
Resposta
Enunciado: Se
para
grande e
converge, então
converge; se
e
diverge então
diverge. Se
e
com
, então
e
têm o mesmo comportamento.
Demonstração: provadas nos passos acima — passa-se das desigualdades termo a termo para as somas parciais e usa-se que sequência crescente limitada converge; para o teste do limite obtém-se constantes a partir do limite e aplica-se a comparação direta.
Exemplo 1: converge, pois
e
converge.
Exemplo 2: diverge, pois
e
diverge (logo pelo teste da comparação por limite a série diverge).
Demonstração: provadas nos passos acima — passa-se das desigualdades termo a termo para as somas parciais e usa-se que sequência crescente limitada converge; para o teste do limite obtém-se constantes
Exemplo 1:
Exemplo 2: