Prove: (Bolzano - Weiertrass) Toda sequência limitada tem alguma subsequência convergente.

Passo 1

O que o enunciado pede: provar que toda sequência limitada tem alguma subsequência convergente.
Informações dadas:
  • Temos uma sequência (x_n)_{n\ge1} de números reais.
  • A sequência é limitada, isto é, existe M>0 tal que |x_n|\le M para todo n.
O que é preciso mostrar:
  • Existe uma subsequência (x_{n_k})_{k\ge1} e um número c\in\mathbb{R} tais que \lim_{k\to\infty} x_{n_k}=c.

Passo 2

Definições e conceitos que vamos usar (explicados devagar, tipo amigo que segura sua mão):
  • Sequência limitada: (x_n) é limitada se existe M>0 com |x_n|\le M para todo n. Aqui isso significa que todos os termos estão dentro do intervalo [-M,M].
  • Subsequentia (subsequência): é uma sequência obtida escolhendo índices estritamente crescentes n_1<n_2<\cdots e considerando (x_{n_k}).
  • Convergência: dizemos \lim_{k\to\infty} x_{n_k}=c se, para todo \varepsilon>0, existe K tal que |x_{n_k}-c|<\varepsilon para todo k\ge K.
Vou usar um método clássico: dividir repetidamente um intervalo que contém todos os termos em metades e sempre escolher a metade que contém infinitos termos. Isso cria uma cadeia de intervalos aninhados com comprimentos que tendem a zero; o ponto comum desses intervalos será o limite da subsequência que construiremos. Agora vamos ao passo a passo da prova.

Passo 3

Começo da construção: como (x_n) é limitada por M, todos os termos estão no intervalo
I_1=[-M,M].
Divida I_1 em duas metades de comprimento igual:
I_1^L=[-M,0]\quad\text{e}\quad I_1^R=[0,M].
Observação importante: entre I_1^L e I_1^R, pelo menos uma das metades contém infinitamente muitos termos da sequência (x_n). Por que? Se cada metade tivesse apenas um número finito de termos, então o total de termos seria finito (soma de dois finitos), contradizendo o fato de que a sequência tem infinitos termos. Portanto, escolha I_2 como uma das metades que contém infinitamente muitos termos.

Passo 4

Construção iterativa (o passo que se repete): suponha que já temos um intervalo fechado I_k=[a_k,b_k] que contém infinitamente muitos termos (x_n). Divida I_k ao meio em
I_k^L=[a_k,\tfrac{a_k+b_k}{2}]\quad\text{e}\quad I_k^R=[\tfrac{a_k+b_k}{2},b_k].
Pelo mesmo raciocínio do passo anterior, pelo menos uma dessas metades contém infinitamente muitos termos. Defina I_{k+1} como essa metade que contém infinitamente muitos termos. Assim obtemos uma sequência de intervalos aninhados
I_1\supset I_2\supset I_3\supset\cdots
cada um fechado, com comprimento
|I_k|=b_k-a_k=\frac{2M}{2^{\,k-1}}=\frac{2M}{2^{k-1}},
portanto |I_k|\to0 quando k\to\infty.

Passo 5

Escolha dos índices da subsequência: agora vamos selecionar índices n_1<n_2<\cdots de forma que x_{n_k}\in I_k para todo k. Concretamente:
  • Como I_1 contém todos os termos, escolha n_1=1 (ou escolher o menor índice que quiser).
  • Suponha que n_k já foi escolhido. O intervalo I_{k+1} contém infinitos x_n, então existem índices maiores que n_k com x_n\in I_{k+1}. Escolha n_{k+1} um desses índices com n_{k+1}>n_k e x_{n_{k+1}}\in I_{k+1}.
Dessa forma obtemos uma subsequência (x_{n_k}) com a propriedade
x_{n_k}\in I_k\quad\text{para todo }k.

Passo 6

Existência de um ponto comum aos intervalos: os intervalos I_k=[a_k,b_k] satisfazem a_1\le a_2\le a_3\le\cdots (os extremos esquerdo formam uma sequência não decrescente) e b_1\ge b_2\ge b_3\ge\cdots (os extremos direito formam uma sequência não crescente). Como a_k é limitada superiormente por b_1 e b_k é limitada inferiormente por a_1, ambos são sequências monótonas e limitadas, portanto convergem (teorema da convergência monotônica).
Defina
c=\lim_{k\to\infty} a_k\quad\text{e}\quad d=\lim_{k\to\infty} b_k.
Mas como |I_k|=b_k-a_k\to0, segue que d-c=\lim_{k\to\infty}(b_k-a_k)=0, logo c=d. Portanto existe um único ponto
c\in\bigcap_{k=1}^\infty I_k
que pertence a todos os I_k.

Passo 7

Mostrando que a subsequência converge para c: queremos provar que \lim_{k\to\infty} x_{n_k}=c. Seja \varepsilon>0. Como |I_k|=b_k-a_k\to0, existe K tal que para todo k\ge K temos |I_k|<\varepsilon. Para esses k,
x_{n_k}\in I_k\quad\text{e}\quad c\in I_k,
então
|x_{n_k}-c|\le |I_k|<\varepsilon.
Assim, por definição, \lim_{k\to\infty} x_{n_k}=c. Isso mostra que a subsequência converge para c.

Passo 8

Conclusão final e comentário pedagógico: a construção acima produz sempre uma subsequência convergente a partir de qualquer sequência limitada. O ponto-chave foi a escolha iterativa de metades contendo infinitos termos, garantindo que possamos sempre escolher índices estritamente crescentes; outra peça essencial foi que os comprimentos dos intervalos vão a zero, o que força o ponto comum a ser único e a subsequência a aproximar-se desse ponto arbitrariamente bem.
Se você preferir, pense no processo como “encolher uma mira” em cima dos termos da sequência: a cada passo você foca numa metade que ainda tem infinitos pontos, e no limite a mira fecha em um ponto onde os pontos da subsequência ficam cada vez mais juntos.

Resposta

\text{Toda sequência limitada em }\mathbb{R}\text{ tem uma subsequência convergente.}êê

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