Prove: (Bolzano - Weiertrass) Toda sequência limitada tem alguma subsequência convergente.
Passo 1
O que o enunciado pede: provar que toda sequência limitada tem alguma subsequência convergente.
Informações dadas:
- Temos uma sequência
de números reais. - A sequência é limitada, isto é, existe
tal que para todo .
O que é preciso mostrar:
- Existe uma subsequência
e um número tais que .
Passo 2
Definições e conceitos que vamos usar (explicados devagar, tipo amigo que segura sua mão):
- Sequência limitada:
é limitada se existe com para todo . Aqui isso significa que todos os termos estão dentro do intervalo . - Subsequentia (subsequência): é uma sequência obtida escolhendo índices estritamente crescentes
e considerando . - Convergência: dizemos
se, para todo , existe tal que para todo .
Vou usar um método clássico: dividir repetidamente um intervalo que contém todos os termos em metades e sempre escolher a metade que contém infinitos termos. Isso cria uma cadeia de intervalos aninhados com comprimentos que tendem a zero; o ponto comum desses intervalos será o limite da subsequência que construiremos. Agora vamos ao passo a passo da prova.
Passo 3
Começo da construção: como
é limitada por
, todos os termos estão no intervalo
Divida
em duas metades de comprimento igual:
Observação importante: entre
e
, pelo menos uma das metades contém infinitamente muitos termos da sequência
. Por que? Se cada metade tivesse apenas um número finito de termos, então o total de termos seria finito (soma de dois finitos), contradizendo o fato de que a sequência tem infinitos termos. Portanto, escolha
como uma das metades que contém infinitamente muitos termos.
Passo 4
Construção iterativa (o passo que se repete): suponha que já temos um intervalo fechado
que contém infinitamente muitos termos
. Divida
ao meio em
Pelo mesmo raciocínio do passo anterior, pelo menos uma dessas metades contém infinitamente muitos termos. Defina
como essa metade que contém infinitamente muitos termos. Assim obtemos uma sequência de intervalos aninhados
cada um fechado, com comprimento
portanto
quando
.
Passo 5
Escolha dos índices da subsequência: agora vamos selecionar índices
de forma que
para todo
. Concretamente:
- Como
contém todos os termos, escolha (ou escolher o menor índice que quiser). - Suponha que
já foi escolhido. O intervalo contém infinitos , então existem índices maiores que com . Escolha um desses índices com e .
Dessa forma obtemos uma subsequência
com a propriedade
Passo 6
Existência de um ponto comum aos intervalos: os intervalos
satisfazem
(os extremos esquerdo formam uma sequência não decrescente) e
(os extremos direito formam uma sequência não crescente). Como
é limitada superiormente por
e
é limitada inferiormente por
, ambos são sequências monótonas e limitadas, portanto convergem (teorema da convergência monotônica).
Defina
Mas como
, segue que
, logo
. Portanto existe um único ponto
que pertence a todos os
.
Passo 7
Mostrando que a subsequência converge para
: queremos provar que
. Seja
. Como
, existe
tal que para todo
temos
. Para esses
,
então
Assim, por definição,
. Isso mostra que a subsequência converge para
.
Passo 8
Conclusão final e comentário pedagógico: a construção acima produz sempre uma subsequência convergente a partir de qualquer sequência limitada. O ponto-chave foi a escolha iterativa de metades contendo infinitos termos, garantindo que possamos sempre escolher índices estritamente crescentes; outra peça essencial foi que os comprimentos dos intervalos vão a zero, o que força o ponto comum a ser único e a subsequência a aproximar-se desse ponto arbitrariamente bem.
Se você preferir, pense no processo como “encolher uma mira” em cima dos termos da sequência: a cada passo você foca numa metade que ainda tem infinitos pontos, e no limite a mira fecha em um ponto onde os pontos da subsequência ficam cada vez mais juntos.