Questão 1. Calcule o valor do somatório:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o somatório
Informações dadas:
- O índice de soma
vai de até . - Cada termo da soma é
. - A tarefa é encontrar o valor numérico dessa soma.
Passo 2
Vamos usar uma propriedade básica de somatórios: a linearidade. Ela diz que, para quaisquer sequências
e
e constante
,
e
Explicando rapidinho por que isso é verdade: somar termo a termo é o mesmo que agrupar as partes; por exemplo,
. É só distribuir a soma.
Passo 3
Aplicando a linearidade ao nosso somatório, separamos
em duas partes:
Pelo segundo caso da linearidade, fatoramos o
na primeira soma:
Portanto temos
Passo 4
Agora precisamos de duas somas simples:
- A soma dos inteiros de
a , ou seja . - A soma de
repetida vezes, ou seja .
Começando por
: use a famosa fórmula (método de emparelhamento de Gauss). Emparelhando termos nas extremidades,
Há
termos, formando
pares, cada par soma
. Logo
A forma geral dessa fórmula é
que para
dá
.
Passo 5
A outra soma é trivial:
porque estamos somando
exatamente
vezes.
Passo 6
Agora substituímos esses valores na expressão do Passo 3:
Calcule passo a passo:
então
Passo 7
Como verificação rápida de entendimento, podemos testar um caso menor, por exemplo
:
Pela fórmula geral:
. Confere.