Questão 1. Calcule o valor do somatório:
\sum_{k=1}^{20}(3 k-1) .

Passo 1

O enunciado pede para calcular o somatório
\sum_{k=1}^{20}(3k-1).
Informações dadas:
  • O índice de soma k vai de 1 até 20.
  • Cada termo da soma é 3k-1.
  • A tarefa é encontrar o valor numérico dessa soma.

Passo 2

Vamos usar uma propriedade básica de somatórios: a linearidade. Ela diz que, para quaisquer sequências (a_k) e (b_k) e constante c,
\sum_{k=1}^{n}(a_k+b_k)=\sum_{k=1}^{n}a_k+\sum_{k=1}^{n}b_k
e
\sum_{k=1}^{n} c\,a_k = c\sum_{k=1}^{n} a_k.
Explicando rapidinho por que isso é verdade: somar termo a termo é o mesmo que agrupar as partes; por exemplo, (a_1+b_1)+(a_2+b_2)+\cdots=(a_1+a_2+\cdots)+(b_1+b_2+\cdots). É só distribuir a soma.

Passo 3

Aplicando a linearidade ao nosso somatório, separamos 3k-1 em duas partes:
\sum_{k=1}^{20}(3k-1)=\sum_{k=1}^{20}3k-\sum_{k=1}^{20}1.
Pelo segundo caso da linearidade, fatoramos o 3 na primeira soma:
\sum_{k=1}^{20}3k = 3\sum_{k=1}^{20}k.
Portanto temos
\sum_{k=1}^{20}(3k-1)=3\sum_{k=1}^{20}k - \sum_{k=1}^{20}1.

Passo 4

Agora precisamos de duas somas simples:
  • A soma dos inteiros de 1 a 20, ou seja \sum_{k=1}^{20}k.
  • A soma de 1 repetida 20 vezes, ou seja \sum_{k=1}^{20}1.
Começando por \sum_{k=1}^{20}k: use a famosa fórmula (método de emparelhamento de Gauss). Emparelhando termos nas extremidades,
1+20=21,\quad 2+19=21,\quad 3+18=21,\\ \ldots,\\\ 10+11=21.
20 termos, formando 10 pares, cada par soma 21. Logo
\sum_{k=1}^{20}k = 10\cdot 21 = 210.
A forma geral dessa fórmula é
\sum_{k=1}^{n}k = \frac{n(n+1)}{2},
que para n=20 \frac{20\cdot 21}{2}=210.

Passo 5

A outra soma é trivial:
\sum_{k=1}^{20}1 = 20,
porque estamos somando 1 exatamente 20 vezes.

Passo 6

Agora substituímos esses valores na expressão do Passo 3:
\sum_{k=1}^{20}(3k-1)=3\cdot 210 - 20.
Calcule passo a passo:
3\cdot 210 = 630,
então
630 - 20 = 610.

Passo 7

Como verificação rápida de entendimento, podemos testar um caso menor, por exemplo n=5:
\sum_{k=1}^{5}(3k-1)= (3\cdot1-1)+(3\cdot2-1)+(3\cdot3-1)+(3\cdot4-1)+(3\cdot5-1)
=2+5+8+11+14=40.
Pela fórmula geral: 3\sum_{k=1}^{5}k - 5 = 3\cdot \frac{5\cdot6}{2}-5 = 3\cdot15-5=45-5=40. Confere.

Resposta

610

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