Prove: (Dirichlet) Toda série absolutamente convergente é comutativamente convergente.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Dado: uma série numérica \sum_{n=1}^{\infty} a_n que é absolutamente convergente, isto é, sabemos que
\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|
converge (tem soma finita).
  • Pedido: provar que essa série é comutativamente convergente. Ou seja: para qualquer permutação \sigma dos naturais, a série rearranjada
\sum_{n=1}^{\infty} a_{\sigma(n)}
converge e o seu somatório é o mesmo da série original:
\sum_{n=1}^{\infty} a_{\sigma(n)}=\sum_{n=1}^{\infty} a_n.

Passo 2

Definições e preparações úteis (explicadas passo a passo, sem pular etapas).
  • O que significa “absolutamente convergente”: dizer que \sum_{n=1}^{\infty} |a_n| converge significa, pela definição de convergência de séries, que para todo \varepsilon>0 existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo p>q\ge N,
\sum_{k=q+1}^{p} |a_k| < \varepsilon.
Uma forma prática e equivalente: para todo \varepsilon>0 existe N tal que a “cauda” da série é pequena,
\sum_{n=N+1}^{\infty} |a_n| < \varepsilon.
  • Permutação \sigma: é uma bijeção \sigma:\mathbb{N}\to\mathbb{N}. Para cada índice original i existe uma posição finita k_i tal que \sigma(k_i)=i. Isso é importante (cada índice aparece em alguma posição da permutação).
  • Objetivo técnico: provar que os somatórios parciais da série rearranjada convergem para o mesmo valor da série original. Vou usar a propriedade das caudas pequenas (vinda da absoluta convergência) para controlar a contribuição dos termos com índice grande.

Passo 3

Convenções e notação que vamos usar na prova.
  • Seja S a soma da série original:
S=\sum_{n=1}^{\infty} a_n.
Como \sum |a_n| converge, S existe (a soma de uma série absolutamente convergente existe e é finita).
  • Dada uma permutação \sigma, chamo de S'_m a soma parcial da série rearranjada com m termos:
S'_m=\sum_{j=1}^{m} a_{\sigma(j)}.
  • Estratégia (curta explicação didática): vou mostrar que S'_m\to S quando m\to\infty. Para isso fixo \varepsilon>0, escolho N tal que a cauda \sum_{n=N+1}^\infty |a_n|<\varepsilon. Como cada um dos índices 1,2,\dots,N aparece em alguma posição finita na permutação, existe um índice M tal que, para todo m\ge M, os N primeiros termos da série original já estão todos entre os primeiros m termos da série rearranjada. A partir daí a diferença entre S e S'_m será a soma de alguns termos com índice maior que N, cujo módulo total podemos controlar por \varepsilon. Agora desenvolvo isso com rigor.

Passo 4

Construção do N e do M que controlam a diferença e estimativa da diferença.
  • Fixe um \varepsilon>0.
  • Como \sum_{n=1}^\infty |a_n| converge, existe N\in\mathbb{N} tal que
\sum_{n=N+1}^{\infty} |a_n| < \varepsilon.
(Esta é a propriedade das caudas pequena explicada acima.)
  • Para cada i\in\{1,2,\dots,N\} existe uma posição finita k_i\in\mathbb{N} tal que \sigma(k_i)=i. Isso porque \sigma é bijetora: cada índice original aparece em alguma posição da permutação.
  • Seja
M=\max\{k_1,k_2,\dots,k_N\}.
Este máximo existe porque é o máximo de um conjunto finito de inteiros. Logo, para todo m\ge M todos os índices 1,2,\dots,N já apareceram entre os primeiros m termos da série rearranjada. Em fórmula:
\{1,2,\dots,N\}\subseteq\{\sigma(1),\sigma(2),\dots,\sigma(m)\}\quad\text{para todo }m\ge M.

Passo 5

Comparação das somas e conclusão do limite.
  • Para m\ge M podemos escrever tanto a soma original quanto a parcial rearranjada de forma que fiquem explícitos os termos com índice \le N e >N:
S=\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{N} a_n + \sum_{n=N+1}^{\infty} a_n,
S'_m=\sum_{j=1}^{m} a_{\sigma(j)} = \sum_{n=1}^{N} a_n + \sum_{\substack{j=1\\\ \sigma(j)>N}}^{m} a_{\sigma(j)}.
(A igualdade em S'_m é válida porque, para m\ge M, todos os índices 1,\dots,N já aparecem entre os primeiros m termos; restam então, nos primeiros m termos, apenas alguns índices maiores que N.)
  • Subtraindo, obtemos
S - S'_m = \left(\sum_{n=N+1}^{\infty} a_n\right) - \left(\sum_{\substack{j=1\\\ \sigma(j)>N}}^{m} a_{\sigma(j)}\right).
O membro da direita é simplesmente a soma dos termos com índice maior que N que ainda não apareceram entre os primeiros m termos, ou, dito de outra forma, é uma soma (finita) de alguns termos de \{a_{N+1},a_{N+2},\dots\}.
  • Tomando módulo e usando a desigualdade triangular e a definição de N,
|S-S'_m| \le \sum_{n=N+1}^{\infty} |a_n| < \varepsilon.
(A razão: o conjunto de termos que sobra ao subtrair está contido no conjunto \{a_{N+1},a_{N+2},\dots\}, portanto sua soma absoluta não excede a soma total da cauda.)
  • Conclusão: para todo \varepsilon>0 existe M (construído acima a partir do N) tal que, para todo m\ge M,
|S-S'_m|<\varepsilon.
Isso é exatamente a definição de que S'_m\to S quando m\to\infty. Logo a série rearranjada converge e tem soma S.

Passo 6

Resumo final e observações didáticas.
  • Resumindo de modo amistoso: a absoluta convergência dá controle sobre as caudas da série (elas ficam arbitrariamente pequenas). Como uma permutação apenas distribui os mesmos termos em outra ordem, basta esperar até que todos os primeiros N termos originais tenham aparecido na soma parcial da permutação; a diferença restante é constituída só por termos da cauda, cuja soma absoluta é pequena. Por isso qualquer rearranjo converge para o mesmo valor.
  • Observação: a prova funciona tanto para séries de números reais quanto complexos, bastando interpretar |\cdot| como o módulo complexo quando necessário.
  • Força aí — essa é uma ferramenta muito útil: absoluta convergência implica que você pode somar os termos em qualquer ordem sem medo de mudar o resultado.

Resposta

\displaystyle \text{Se } \sum_{n=1}^{\infty} |a_n| \text{ converge, então para toda permutação } \sigma \text{ a série } \sum_{n=1}^{\infty} a_{\sigma(n)} \text{ converge e } \sum_{n=1}^{\infty} a_{\sigma(n)}=\sum_{n=1}^{\infty} a_n.ãçãé

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