Enuncie e explique da forma mais detalhada possível o Método de Separação de Variáveis (MSV) para a resolução de Equação Diferenciais Parciais (EDP). Poderá usar qualquer EDP para a sua explicação.
Passo 1
O que o enunciado pediu e quais são os objetivos desta resposta:
Pediram que eu enuncie e explique, de forma bem detalhada e didática, o Método de Separação de Variáveis (MSV) para resolver Equações Diferenciais Parciais (EDP).
Foi autorizada a escolha de qualquer EDP como exemplo para a explicação.
Portanto: vou enunciar o método de forma geral, explicar cada passo com calma, e ilustrar tudo com um exemplo clássico (a equação do calor numa barra com condições de contorno de Dirichlet homogêneas). O objetivo final é que eu consiga aplicar o MSV numa prova e entender por que cada passo funciona.
Passo 2
Ideia básica e hipóteses do MSV (explicação conceitual):
O MSV procura soluções da EDP que são produtos de funções que dependem cada uma de apenas uma das variáveis. Em notação, para duas variáveis x e t assume-se
u(x,t)=X(x)\,T(t).
Por que isso faz sentido? Porque muitas EDPs lineares e homogêneas permitem decompor o comportamento espacial e temporal em modos (cada modo tem forma espacial fixa e evolução temporal própria). A superposição linear desses modos dá a solução geral quando a EDP e as condições são lineares.
Hipóteses usuais para aplicar o MSV com segurança:
A EDP é linear (ou pode ser tornada linear por transformação).
As condições de contorno são homogêneas (se não forem, primeiro transforma-se o problema para homogêneo).
Busca-se soluções separáveis não-triviais (não a solução u\equiv0).
Importante: o MSV não prova por si só que a soma dos modos separáveis gera toda solução possível — isso depende de teoria de autovalores (Sturm–Liouville) e completude das autofunções — mas na prática de prova, costuma-se usar o MSV + teoria das séries de Fourier para obter e justificar a solução.
Passo 3
Apresentação do exemplo concreto que vamos resolver passo a passo:
Escolho a equação do calor em uma barra de comprimento L\) com difusividade térmica \(\alpha^2>0\). A EDP, as condições de contorno de Dirichlet homogêneas e a condição inicial são:
\[\begin{cases} u_t(x,t)=\alpha^2 u_{xx}(x,t), & 0<x<L,\; t>0,\\[4pt] u(0,t)=0,\quad u(L,t)=0, & t\ge 0,\\[4pt] u(x,0)=f(x), & 0\le x\le L. \end{cases}
Aqui u(x,t)\] é a temperatura no ponto \(x e tempo t; f(x) é a função inicial (dada). A notação: u_t=\dfrac{\partial u}{\partial t} e u_{xx}=\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}.]
Passo 4
Aplicando a hipótese de separação u(x,t)=X(x)\,T(t) e obtendo equações separadas:
Faço a divisão por \alpha^2 X(x)T(t) (assumindo X e T não nulas identicamente):
\frac{T'(t)}{\alpha^2 T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}.
Observação fundamental: o membro à esquerda depende apenas de t e o da direita apenas de x. A única forma de uma igualdade do tipo \text{função de }t = \text{função de }x valer para todos x,t é que ambos sejam iguais a uma constante, que chamamos de -\lambda. Assim:
onde \lambda é o chamado parâmetro de separação (ou constante de separação). A convenção do sinal negativo facilita (você verá) porque as equações resultantes tornam-se formas padrão.
Passo 5
Obtenção das ODEs separadas e interpretação do parâmetro \lambda:
Das igualdades anteriores temos duas ODEs ordinárias:
Além disso, X deve satisfazer as condições de contorno:
X(0)=0,\qquad X(L)=0,
porque u(0,t)=X(0)T(t)=0 para todo t e queremos T não trivial.
Agora, o sinal de \lambda determina o tipo de solução de X''+\lambda X=0. Temos três casos possíveis:
\lambda=0: a equação espacial é X''(x)=0 com solução X(x)=Ax+B. Aplicando X(0)=0 e X(L)=0 obtemos B=0 e A L=0 daí A=0. Isso dá só a solução trivial X\equiv0. Logo \lambda=0 não gera modo útil.
\lambda<0: escreva \lambda=-\mu^2 com \mu>0. Então X''-\mu^2 X=0 e soluções são combinações de exponenciais, que com as condições de contorno homogêneas também levam à solução trivial (exceto em casos exóticos de BCs não homogêneas). Portanto \lambda<0 também é descartado para este problema com Dirichlet homogêneo.
\lambda>0: escreva \lambda=\kappa^2 com \kappa>0. Então
X''+\kappa^2 X=0,cujas soluções gerais são combinações de seno e cosseno. Aplicando X(0)=0 força a parte do cosseno nula, e a condição X(L)=0 leva a quantização de \kappa.
Como a EDP é linear e homogênea, pela propriedade da superposição a soma infinita (série) desses modos também é solução (sujeito a questões de convergência que vou comentar depois):
Determinar os coeficientes C_n\) usando a condição inicial e a ortogonalidade das autofunções:
- A condição inicial pede \(u(x,0)=f(x)\). Substituindo \(t=0\) na série:
\[f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}C_n\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right).
Ou seja, precisamos expandir f(x) numa série de seno — isto é a série de Fourier senoidal no intervalo [0,L].
Propriedade crucial (ortogonalidade): para inteiros m,n\ge1,
Convergência: se f for razoável (por exemplo f\in L^2(0,L) ou contínua por partes), a série de Fourier converge em sentido L^2 e muitas vezes ponto a ponto (sob hipóteses extras). Para a equação do calor há ainda suavização: para t>0 a solução é usualmente suave.
Unicidade: para este problema a unicidade da solução é garantida por teoremas padrão (princípio do máximo para a equação do calor ou energia), o que justifica que a solução encontrada é a única que satisfaz as condições.
Se as condições de contorno forem não-homogêneas (por exemplo u(0,t)=A\neq0), primeiro se transforma o problema para um com BCs homogêneas subtraindo uma função estacionária que satisfaça as BCs — procedimento padrão.
O procedimento análogo funciona para outras EDPs lineares: equação da onda, equação de Laplace (estacionária), etc., mudando apenas a forma das ODEs obtidas e o sinal do parâmetro de separação que é compatível com as BCs.
Passo 9
Resumo prático e checklist para usar o MSV numa prova (passos operacionais que você pode decorar):
Escreva o problema (EDP + BCs + IC).
Verifique linearidade e tente homogeneizar BCs se preciso.
Assuma u(x,t)=X(x)T(t).
Substitua e divida para obter \dfrac{T'}{\text{(coef)}}=\dfrac{X''}{X}= constante -\lambda.
Formule o problema de autovalores para X com as BCs; determine os \lambda_n que produzem soluções não-triviais.
Para cada \lambda_n resolva T_n e forme u_n=X_nT_n.
Escreva a soma (série) dos modos e determine coeficientes impondo a condição inicial, usando ortogonalidade.
Verifique convergência/regularidade e comente sobre unicidade se a prova pedir.
Dicas: nunca aceite a solução espacial trivial X\equiv0; escolha corretamente o sinal de \lambda testando \lambda<0,=0,>0 com as BCs; cuide da normalização das autofunções ao calcular coeficientes.
Passo 10
Extensões, variações e observações finais (o que é bom mencionar numa prova):
Outros domínios e coordenadas: em coordenadas polares, esféricas ou problemas em duas dimensões, o MSV leva a problemas de Sturm–Liouville mais gerais; os autofunções podem ser senos/cossenos, Bessel, legendre, etc.
EDPs não-homogêneas: reduz-se a resolver a parte estacionária ou usar expansão em autofunções (única diferença é que o lado não-homogêneo gera termos forçantes nas ODEs temporais).
Justificação teórica: a completude das autofunções e propriedades de ortogonalidade vêm da teoria de Sturm–Liouville; em provas vale mencionar essa teoria quando for necessário justificar expansão em séries.
Exemplo simples extra (para ter um caso concreto e rápido): se f(x)=\sin\!\left(\dfrac{\pi x}{L}\right), então só C_1=1 e C_{n}=0 para n\ge2. A solução simplifica para
o que é um bom “teste” mental para conferir raciocínio em prova.
Resposta
Enunciado do Método de Separação de Variáveis e solução exemplificada: para uma EDP linear homogênea procurar u(x,t)=X(x)T(t), obter a separação com constante -\lambda, resolver o problema de autovalores espacial X''+\lambda X=0 com as condições de contorno para obter \lambda_n e X_n(x), resolver as ODEs temporais T_n'+\alpha^2\lambda_n T_n=0 e formar a solução por superposição
onde os coeficientes C_n são determinados pela condição inicial via projeção (ortogonalidade). Para o exemplo da equação do calor com u(0,t)=u(L,t)=0 e u(x,0)=f(x) obtém-se a solução