Seja
a regiāo do espaço limitada por baixo pelo plano
, acima pela esfera
e lateralmente pelo cilindro
. Escreva a integral iterada que descreve o volume de
usando:
Coordenadas esféricas, com ordem de integraçāo dpdôdθ.
Coordenadas esféricas, com ordem de integraçāo dpdôdθ.
Passo 1
Vou explicitar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- O enunciado dá a região
do espaço limitada por: - por baixo: o plano
; - por cima: a esfera
(raio ); - lateralmente: o cilindro
(raio ).
- por baixo: o plano
- O que se pede: escrever a integral iterada que descreve o volume de
usando coordenadas esféricas, com ordem de integração (ou seja: primeiro , depois , por fim ).
Passo 2
Relembrando as coordenadas esféricas e o elemento de volume (a parte técnica necessária para montar a integral).
- Em coordenadas esféricas usamos as variáveis
definidas por Aqui é a distância à origem, é o ângulo polar medido a partir do eixo positivo, e é o ângulo azimutal no plano . - O elemento de volume em esféricas é
Explicando: o fator é o Jacobiano da mudança de variáveis (ele aparece sempre que se passa de retangulares para esféricas).
Passo 3
Converter cada superfície que limita
para condições em
.
- O plano
corresponde a . Como consideramos a parte acima do plano, isto é , temos e portanto - A esfera
fica simplesmente . - O cilindro
em esféricas é Isso dá uma relação entre e : pontos dentro do cilindro satisfazem , ou seja .
Passo 4
Determinar os limites de
dependentes de
: qual é a superfície que dá o limite radial superior — a esfera (
) ou o cilindro (
)?
- Em geral o limite superior de
é o menor entre e . Então - Para saber onde cada um domina, igualamos
, obtendo - Conclusão:
- Para
temos . Assim o limite superior é a esfera . - Para
temos . Assim o limite superior é o cilindro .
- Para
Passo 5
Determinar os limites de
.
- A região é circularmente simétrica em torno do eixo
(o cilindro e a esfera são simétricos), logo percorre todo a :
Passo 6
Montar a integral iterada com ordem
, usando a divisão em dois trechos de
encontrada no Passo 4. O integrando será o elemento de volume
.
- A integral total do volume é a integral em
de duas parcelas (uma para , outra para ), cada uma com o respectivo limite superior em :