Seja R a regiāo do espaço limitada por baixo pelo plano z=0, acima pela esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 e lateralmente pelo cilindro x^{2}+y^{2}=1. Escreva a integral iterada que descreve o volume de R usando:
Coordenadas esféricas, com ordem de integraçāo dpdôdθ.

Passo 1

Vou explicitar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • O enunciado dá a região R do espaço limitada por:
    • por baixo: o plano z=0;
    • por cima: a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 (raio 2);
    • lateralmente: o cilindro x^{2}+y^{2}=1 (raio 1).
  • O que se pede: escrever a integral iterada que descreve o volume de R usando coordenadas esféricas, com ordem de integração \,d\rho\,d\varphi\,d\theta (ou seja: primeiro \rho, depois \varphi, por fim \theta).

Passo 2

Relembrando as coordenadas esféricas e o elemento de volume (a parte técnica necessária para montar a integral).
  • Em coordenadas esféricas usamos as variáveis \rho,\varphi,\theta definidas por x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.Aqui \rho\ge 0 é a distância à origem, \varphi\in[0,\pi] é o ângulo polar medido a partir do eixo z positivo, e \theta\in[0,2\pi) é o ângulo azimutal no plano xy.
  • O elemento de volume em esféricas é dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.Explicando: o fator \rho^{2}\sin\varphi é o Jacobiano da mudança de variáveis (ele aparece sempre que se passa de retangulares para esféricas).

Passo 3

Converter cada superfície que limita R para condições em \rho,\varphi,\theta.
  • O plano z=0 corresponde a \rho\cos\varphi=0. Como consideramos a parte acima do plano, isto é z\ge0, temos \cos\varphi\ge0 e portanto \varphi\in\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right].
  • A esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 fica simplesmente \rho=2.
  • O cilindro x^{2}+y^{2}=1 em esféricas é \rho^{2}\sin^{2}\varphi=1 \quad\Longrightarrow\quad \rho\sin\varphi=1 \quad\Longrightarrow\quad \rho=\frac{1}{\sin\varphi}.Isso dá uma relação entre \rho e \varphi: pontos dentro do cilindro satisfazem \rho\sin\varphi\le 1, ou seja \rho\le 1/\sin\varphi.

Passo 4

Determinar os limites de \rho dependentes de \varphi: qual é a superfície que dá o limite radial superior — a esfera ( \rho=2) ou o cilindro ( \rho=1/\sin\varphi)?
  • Em geral o limite superior de \rho é o menor entre 2 e 1/\sin\varphi. Então 0\le \rho \le \min\!\left(2,\;\frac{1}{\sin\varphi}\right).
  • Para saber onde cada um domina, igualamos 2=\dfrac{1}{\sin\varphi}, obtendo \sin\varphi=\tfrac{1}{2}\quad\Longrightarrow\quad \varphi=\tfrac{\pi}{6}.
  • Conclusão:
    • Para 0\le\varphi\le \tfrac{\pi}{6} temos \sin\varphi\le\tfrac{1}{2}\Rightarrow \dfrac{1}{\sin\varphi}\ge 2. Assim o limite superior é a esfera \rho=2.
    • Para \tfrac{\pi}{6}\le\varphi\le \tfrac{\pi}{2} temos \sin\varphi\ge\tfrac{1}{2}\Rightarrow \dfrac{1}{\sin\varphi}\le 2. Assim o limite superior é o cilindro \rho=\dfrac{1}{\sin\varphi}.

Passo 5

Determinar os limites de \theta.
  • A região é circularmente simétrica em torno do eixo z (o cilindro e a esfera são simétricos), logo \theta percorre todo 0 a 2\pi: 0\le\theta\le 2\pi.

Passo 6

Montar a integral iterada com ordem d\rho\,d\varphi\,d\theta, usando a divisão em dois trechos de \varphi encontrada no Passo 4. O integrando será o elemento de volume \rho^{2}\sin\varphi.
  • A integral total do volume é a integral em \theta de duas parcelas (uma para \varphi\in[0,\pi/6], outra para \varphi\in[\pi/6,\pi/2]), cada uma com o respectivo limite superior em \rho: \int_{0}^{2\pi}\left(\int_{0}^{\pi/6}\int_{0}^{2}\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi \;+\; \int_{\pi/6}^{\pi/2}\int_{0}^{\,1/\sin\varphi}\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\right)d\theta.

Resposta

\displaystyle \int_{0}^{2\pi}\!\left(\int_{0}^{\pi/6}\!\int_{0}^{2}\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi \;+\; \int_{\pi/6}^{\pi/2}\!\int_{0}^{1/\sin\varphi}\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\right)d\theta

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