Ar ingressa em uma câmara de combustão tubular de 14 cm de diâmetro com
. O ar comprimido é retirado de um reservatório, onde a pressão é 500 kPa e a temperatura é 553 K , por meio de um bocal que se une à câmara de combustão. Combustível com um valor de aquecimento de
é injetado na câmara e queimado com uma relação entre a massa do ar e do combustível de 41 (considere o incremento de vazão mássica devido à injeção de combustivel desprezível). Aproximando a combustão como um processo de transferência de calor para o ar, determine: (15p)
A) o número de Mach e a velocidade na saída da câmara de combustão,
B) a taxa de transferência de calor total para atingir a condição de escoamento bloqueado,
C) a variação na vazão em massa se a adição de calor for
e a pressão na entrada e temperatura de estagnação na entrada ficarem fixas.
OBS: cálculos e respostas com no mínimo 04 casas decimais ou 04 significativos, em SI.
A) o número de Mach e a velocidade na saída da câmara de combustão,
B) a taxa de transferência de calor total para atingir a condição de escoamento bloqueado,
C) a variação na vazão em massa se a adição de calor for
Passo 1
O enunciado e os dados (organizados) — o que nos pediram e o que foi dado:
-
Geometria:
- Câmara tubular de diâmetro
(logo área disponível se fosse necessária: , com ).
- Câmara tubular de diâmetro
-
Condições do ar antes da combustão (estado 1 / entrada da câmara):
- Temperatura estática na entrada da câmara:
. - O ar comprimido vem de um reservatório (reservatório = condição de estagnação upstream) com pressão e temperatura:
-
, -
.
-
- O ar é trazido por um bocal que se une à câmara (isso indica que a condição de estagnação upstream é conhecida).
- Temperatura estática na entrada da câmara:
-
Combustível e aquecimento:
- Poder calorífico do combustível:
(interpretação padrão: de combustível, típico de gasolina/diesel, i.e., ). - Relação massa ar / massa combustível:
. - A massa de combustível é desprezível frente à massa de ar (logo podemos tratar a adição de calor por unidade de massa de ar como
em ).
- Poder calorífico do combustível:
-
Aproximação pedida:
- A combustão é aproximada como um processo de adição de calor ao ar (modelo Rayleigh — aquecimento em escoamento compressível em duto de área constante é o modelo apropriado; o enunciado dá explicitamente fórmulas de Rayleigh que serão usadas).
- Constantes do ar (valores padrão a usar):
- constante adiabática
, - capacidade calorífica a pressão constante
, - constante dos gases
.
- constante adiabática
-
O que o enunciado pede:
A) Determinar o número de Mach e a velocidade na saída da câmara de combustão (isto é, após a adição de calor ao ar).
B) Determinar a taxa de transferência de calor total necessária para atingir a condição de escoamento bloqueado (escoamento bloqueado = escoamento chocado/condição sônica local, i.e.,ocorrendo no duto).
C) Calcular a variação na vazão mássica se a adição de calor for(ou seja, ), mantendo-se fixas a pressão na entrada e a temperatura de estagnação na entrada.
Observações importantes (para evitar erros no restante):
- Para resolver A e C será necessário relacionar a variação de calor por unidade de massa com a mudança do número de Mach no interior do duto. Isso, em Rayleigh, exige conhecer a condição de contorno hidráulica (por exemplo: pressão de descarga / contrafluxo ou comprimento suficiente até que o escoamento seja uniformizado) ou trabalhar com relações entre propriedades adimensionais (p/p*, T/T*, p0/p0*, etc.). As relações de Rayleigh fornecidas no enunciado serão usadas quando possível.
- Se alguns dados de contorno (por exemplo pressão no final da câmara, ou se o escoamento está livre para expandir para uma pressão ambiente conhecida) fossem necessários e não fornecidos, não haverá solução única para o item A; nesse caso há que explicitar a ambiguidade e o que é preciso assumir. Vou explicitar essa dependência no passo seguinte antes de tentar um cálculo numérico definitivo.
Passo 2
Cálculos preliminares diretos e interpretação física do que temos de fixo:
- Calcular o calor adicionado por unidade de massa de ar quando o combustível é queimado com razão ar/combustível
.
- Energia liberada por kg de combustível:
- A razão
significa que para cada kg de ar há kg de combustível. Assim, o calor por unidade de massa de ar é:
Vamos calcular numérico:
Para arredondamento com 4 casas significativas:
- Calcular o Mach inicial (antes da adição de calor) no interior da câmara usando a temperatura de estagnação do reservatório e a temperatura estática dada:
- Relação entre temperatura de estagnação
, temperatura estática e número de Mach (para gás perfeito, válida mesmo com aquecimento local — é definição baseada em energia cinética):
Dados:
(assumo que esta é a temperatura de estagnação disponibilizada ao escoamento) e
.
Logo:
Logo:
Portanto
Com 4 casas significativas:
- Velocidade correspondente (antes da combustão) — velocidade estática
ligada ao Mach pelo som local :
Calcule:
Precisão numérica:
Então
Com 4 casas significativas:
Resumo intermediário (antes de tentar achar o estado após combustão):
-
(calor liberado por kg de ar), -
, -
Passo 3
Explicação didática das relações de Rayleigh que governam o escoamento com adição de calor em duto de área constante — o que as fórmulas significam e como se usam
Vou explicar passo a passo os conceitos que precisam ficar claros para aplicar corretamente as fórmulas do enunciado:
- O que é escoamento Rayleigh?
- Rayleigh é o modelo de escoamento unidimensional em duto de área constante quando há adição ou remoção de calor entre o fluido e as paredes (ou por injeção/quema de combustível). Em Rayleigh, não há trabalho de eixo nem troca de massa significativa com o meio (aqui o combustível tem massa desprezível).
- Característica importante: para escoamento sub-sônico, adicionar calor tende a aumentar o Mach (aproxima-o de 1); para escoamento super-sônico, adicionar calor tende a reduzir o Mach (aproxima-o de 1). Assim, o efeito do calor leva o escoamento em direção à condição sônica
.
- As fórmulas essenciais e suas interpretações:
- A fórmula dada no enunciado
relaciona a temperatura estática
num ponto com a temperatura crítica
(temperatura quando
na linha de escoamento) e com o Mach local
.
é uma referência que depende da temperatura de estagnação local, e é a temperatura que o fluido teria exatamente na região onde
se essa condição existisse.
-
As outras fórmulas (para
e ) dão razões entre velocidade ou pressão locais e os valores na condição crítica ( ). São usadas para relacionar estados com o estado crítico. -
Uma identidade importante (muito útil) em Rayleigh é:
o que implica
Isto é, a temperatura crítica
é diretamente proporcional à temperatura de estagnação local
. Observe que nesta relação o lado direito depende de
, o que mostra que, conforme se adiciona calor e
aumenta,
também aumenta.
- Conservação de energia (por unidade de massa) em um elemento que recebe calor
implica que a temperatura de estagnação aumenta conforme:
Isto é essencial: adicionar calor ao escoamento sempre aumenta
(temperatura de estagnação local).
- Como, em princípio, se determina o Mach final após adição de calor:
- Conhecendo
(após adição de calor) e aplicando a relação para e a expressão para , há ainda uma incógnita: o valor da temperatura estática no ponto de interesse (ou o Mach diretamente). Para obter numericamente é necessário usar relações adicionais de conservação (por exemplo, conservação de massa e a expressão para em função de ) ou condições de contorno (por exemplo pressão de descarga/atmosfera, ou geometria com restrição que impeça ajuste livre). Ou seja: sem uma condição de pressão a jusante (ou uma relação entre e as pressões de contorno) o problema não está totalmente determinado.
Resumo didático: Rayleigh dá relações entre propriedades locais e as propriedades críticas, e a adição de calor aumenta
. Para calcular explicitamente o Mach depois da adição de calor é preciso fechar o problema com uma condição de contorno (por exemplo, pressão na saída da câmara, ou assumir que a câmara é longa o suficiente para chegar a uma condição específica). Se essa condição faltar, há infinidade de soluções compatíveis.
Passo 4
Aplicação direta ao enunciado: o que é possível determinar sem informações adicionais e o que NÃO é possível sem suposições extras
- O que PODEMOS calcular diretamente (já calculado):
- O calor por unidade de massa de ar liberado pela combustão:
- O número de Mach antes da combustão (estado 1, dentro da câmara antes do aquecimento):
e a velocidade estática correspondente:
- O que NÃO PODEMOS determinar unicamente (sem suposições extras):
-
O número de Mach e a velocidade na saída da câmara após a adição de calor (item A) — não há informação suficiente para obter um único valor numérico. Precisamos de ao menos uma das condições a seguir:
- pressão de descarga / pressão ambiente na saída da câmara (back pressure), ou
- se a câmara termina em uma seção livre com pressão ambiente conhecida, ou
- se a câmara é suficientemente longa e com atrito conhecido (modelo Fanno), ou
- assumir que a saída fica choked (M=1) — mas isso é uma suposição adicional que deve ser explicitada.
-
A razão é que a adição de calor muda
(conhecível), mas o Mach local após o aquecimento depende de como o escoamento ajusta sua pressão e velocidade com as condições de fronteira. Em outras palavras, Rayleigh fornece relações “locais” entre e , mas para saber o resultante em um ponto específico da câmara é necessário conhecer a restrição global (pressão de saída, comprimento com atrito, etc.).
- Situação do item B (taxa de calor total para atingir condição de escoamento bloqueado):
- Pedir “taxa de transferência de calor total para atingir a condição de escoamento bloqueado” pode ser interpretado de duas formas:
(I) Quantidade de calor por unidade de massa de ar necessária para que o escoamento se torne sônico em algum ponto do duto (i.e.,localmente) — isto é, por unidade de massa de ar para atingir o choking. Esse valor depende unicamente do estado inicial no duto (se considerarmos que a única fonte de variação é o calor), e pode ser obtido conhecendo a condição inicial e usando as relações de Rayleigh. Esse é o sentido físico comum de “quanto calor preciso adicionar para chocar (bloquear) o escoamento”.
(II) Ou o enunciado poderia exigir a “taxa de transferência de calor total” em termos de potência (W), o que exigiria a vazão mássica (kg/s). Para obter potência absoluta seria necessário conhecer a vazão mássica (que depende das pressões e do escoamento upstream/downstream). O enunciado não deu a vazão inicial, então só podemos determinar o calor por unidade de massa (J/kg) necessário para chocar — a menos que se assuma uma vazão ou se compute a vazão a partir de informações adicionais.
Conclusão deste passo:
- Posso calcular sem ambiguidade o calor por kg de ar disponível (já feito) e o calor por kg necessário para atingir choking (item B) — pois esse último depende apenas do estado inicial se interpretado como J/kg.
- Não é possível dar um número único para o Mach e velocidade na saída (item A) nem a variação absoluta da vazão mássica (item C) sem assumir explicitamente uma condição de contorno (pressão de descarga/atmosfera na saída ou afirmar que o escoamento fica chocado). Vou, portanto:
- (i) calcular a partir dos dados o calor por kg necessário para atingir choking (resolvendo o item B no sentido usual J/kg),
- (ii) apresentar o estado inicial e explicar como obter
e caso o enunciado fixasse a pressão de descarga (e dar fórmulas que permitem calcular A e C se essa condição fosse fornecida), - (iii) para o item C vou dar a variação percentual da vazão mássica em termos de funções de Mach (a expressão geral) e explicar que para um número concreto de kg/s precisa-se da vazão inicial (ou de
e área e iniciais).
Passo 5
Cálculo do calor necessário por unidade de massa de ar para atingir condição de escoamento bloqueado (isto responde ao item B na forma J/kg). Dedução e cálculo numérico
- Ideia física e relação-chave:
- Choking (condição sônica
) em Rayleigh ocorre quando, ao adicionar calor, o escoamento se aproxima de . Podemos calcular o valor de que corresponderia a em algum ponto, partindo do estado inicial com temperatura de estagnação . A diferença multiplicada por dará o calor por unidade de massa necessário:
- Em Rayleigh há uma relação útil que relaciona as razões de temperaturas e Machs; em particular vale sempre (identidade já citada):
No ponto crítico (onde
), por definição
e as relações de Rayleigh implicam uma correspondência direta entre
e o estado crítico. Assim, para o estado final choked teríamos
relacionado ao
por
.
- Como encontrar
a partir do estado inicial?
- A dificuldade é que o escoamento pode chocar em algum ponto do duto sem que o valor de
seja simplesmente fixado por uma equação simples que dependa só de . Contudo há uma propriedade prática: se se adiciona calor partindo de um estado sub-sônico, existe uma quantidade mínima de calor por kg de ar que levará o escoamento até em algum ponto do duto; esse é tal que, ao avaliar as relações de Rayleigh entre estado inicial e o estado crítico, as equações são satisfeitas. Podemos construir isso numericamente via a equação que define em um estado inicial e forçar no estado final.
- Montagem da equação utilizável (procedimento prático):
- Para o estado inicial (índice 1) vale:
Mas como
, podemos escrever a temperatura estática inicial em função de
e
:
isto é exatamente a identidade
rearranjada — e é consistente.
- No estado crítico (choke),
e vale:
- Queremos encontrar
que seja alcançável partindo de através da adição de calor . A conservação de energia local por unidade de massa dá:
- Para que o escoamento passe de
para existem relações de Rayleigh para pressão e massa que devem ser satisfeitas ao longo do duto, porém o método prático (e robusto) para encontrar é tratá-lo numericamente: variar (i.e., variar ) e, para cada hipótese de , integrar/usar relações de Rayleigh para encontrar a curva até ver se aparece; o menor que gera é o desejado.
- Procedimento computacional direto e cálculo (faço de forma fechada usando a identidade entre
e ):
- A identidade geral local é
No estado inicial conhecemos
e
e já verificámos que isso reproduz
.
- Se em algum ponto do duto
chegar a , então para esse ponto devemos ter
Mas por definição de condição crítica em Rayleigh também
. Essas duas expressões coincidem numericamente (verificação), então não nos dão equação adicional para
. Ou seja, qualquer
corresponde a um
e a uma temperatura crítica; o que determina se o escoamento efetivamente atinge
em algum ponto é a evolução do Mach ao longo do duto, que depende de quantidades como pressão de saída/condições de contorno.
- Conclusão prática para o item B:
- Se a pergunta B está pedindo o calor por unidade de massa necessário para atingir choking em qualquer ponto do duto, isso não é determinado unicamente apenas por
e sem uma condição de contorno adicional, porque o escoamento pode ou não atingir dependendo das restrições do sistema (pressão ambiente, comprimento do duto, atrito etc.). Em termos práticos, o que pode ser dito com certeza é: - existe um valor de calor por kg de ar tal que, se for superado, o escoamento ficará chocado em algum ponto; esse valor depende de como o escoamento ajusta as pressões, portanto depende da pressão de saída / condições de contorno.
- para calcular numericamente esse valor em J/kg é preciso fixar a condição de descarga (pressão de saída) ou assumir que se procura o calor mínimo que, mesmo no ajuste ótimo da pressão, possa forçar
. Esse cálculo mínimo requer integrar as equações de Rayleigh ou usar tabelas/curvas padrão de Rayleigh.
Resumo deste passo: sem uma condição de contorno a mais, não é possível fornecer um número único e correto para o calor total necessário (em J/kg) para atingir choking. O enunciado deveria especificar se se quer:
- (B1) calor por kg para forçar o escoamento a atingir
independentemente da pressão de descarga (valor mínimo absoluto) — exige cálculo numérico com as relações integrais de Rayleigh; ou - (B2) calor por kg até que um ponto do duto atinja
para a condição real do sistema (precisa de pressão de saída).
Passo 6
Como proceder se aceitarmos hipóteses razoáveis (resolver numericamente com suposições explícitas) — — forneço fórmula/roteiro e, em seguida, resultados numéricos sob duas hipóteses práticas possíveis
Para ser útil para tua preparação de prova, dou o procedimento e, em seguida, fecho com duas hipóteses padrão (cada uma dá uma resposta numérica distinta). Escolhe a que faz sentido para a prova do teu curso.
Procedimento geral para achar
e
após adição de calor
(se a condição de contorno for fornecida):
- Calcule
. - Para um valor de
candidato a saída, as relações de Rayleigh dão , , . Usando e você obtém em função de . - A condição de contorno (por exemplo
) fornece uma equação através da relação e do conhecimento de (ou através da conservação de massa se e área são fixos). - Solve numericamente para
que satisfaça a condição.
Agora apresento duas hipóteses práticas e a solução correspondente:
Hipótese A (mais conservadora e muitas vezes adotada como “caso de exercício”): assumir que a adição de calor dada pelo combustível (aquela calculada no Passo 2) efetivamente é grande o bastante para levar o escoamento ao ponto sônico (
) — ou seja, a câmara fica choked. Neste caso as respostas são diretas:
- Se o escoamento está choked na saída, então o número de Mach local na saída é
- A velocidade correspondente
quando é simplesmente a velocidade do som local:
onde
é a temperatura estática no ponto choked. Em Rayleigh, no ponto crítico
. Logo:
Calcule:
Então
Logo
e
Calcule:
Portanto, se a saída estiver chocada:
Hipótese B (outra hipótese prática): assumir que o escoamento NÃO fica choked com a dada adição de calor (por exemplo, a câmara abre para uma pressão ambiente que permite que o fluxo se ajuste). Neste caso
tem de ser encontrado impondo
(valor não fornecido) e a solução é específica do
. Sem esse valor não há número único.
Passo 7
Como responder aos itens A, B e C de forma clara para tua prova — quais respostas daríamos dependendo de hipóteses
-
Para o item A (Mach e velocidade na saída da câmara), existem duas respostas possíveis dependendo da hipótese:
- Se a câmara fica choked com a adição de calor calculada (hipótese A), então:
-
-
(valores com 4 casas significativas).
-
- Se a pressão de saída/condição de contorno permitir ajuste sem choking, então
e não podem ser determinados apenas com os dados fornecidos; precisa-se da pressão ambiente/pressão de descarga (ou da vazão mássica inicial) para fechar o problema. Neste caso daríamos o procedimento numérico descrito (usar as relações de Rayleigh e impor para resolver ).
- Se a câmara fica choked com a adição de calor calculada (hipótese A), então:
-
Para o item B (taxa de transferência de calor total para atingir escoamento bloqueado):
- Em termos de energia por unidade de massa (J/kg): se o enunciado pretende o valor mínimo absoluto, é necessário resolver numericamente integrando as relações de Rayleigh com a condição de que em algum ponto
. De novo, sem condição de contorno adicional o valor mínimo não é diretamente obtido por uma expressão fechada simples a partir dos dados fornecidos. - Se, contudo, interpretarmos o enunciado como “considerando que toda a energia do combustível por kg de ar é efetivamente adicionada — esse q calculado — isso é suficiente para chocar?” então sob a hipótese A usei exatamente esse
e encontrei e a temperatura crítica e a velocidade sônica indicativa. Ou seja: com o do combustível o fica em e o ; se isso produz choking depende da geometria e pressão de saída. Em muitos problemas de prova essa hipótese A é a adotada para obter uma resposta direta.
- Em termos de energia por unidade de massa (J/kg): se o enunciado pretende o valor mínimo absoluto, é necessário resolver numericamente integrando as relações de Rayleigh com a condição de que em algum ponto
-
Para o item C (variação da vazão mássica quando a adição de calor é
, com pressão de entrada e temperatura de estagnação na entrada fixas): - A expressão geral para a vazão mássica por unidade de área em escoamento compressível (1D) em função de
, e é: Assim, para comparar antes e depois do aquecimento (fixando e de entrada), a variação da vazão mássica depende apenas da mudança do fator: Então: - Para aplicar esta fórmula precisamos de
correspondente ao aquecimento . Mas para encontrar com esse outra vez é necessário fechar o problema com a condição de contorno (pressão de saída). Sem ela, só posso dar a relação funcional acima e o procedimento para calcular numericamente .
- A expressão geral para a vazão mássica por unidade de área em escoamento compressível (1D) em função de
Resumo final e respostas objetivas (o que posso afirmar com os dados fornecidos — e caso se deseje a hipótese prática de escoamento choked, dou os valores explícitos)
Resposta
(q por massa de ar, Mach inicial e velocidade inicial)
(Se for assumido que a adição de calor do combustível faz a saída ficar chocada — hipótese prática adotada para obter resposta numérica)
A)
A)
A)
A)
B) Interpretação: o enunciado não fornece a condição de contorno (pressão de descarga) necessária para determinar unicamente a energia mínima por kg de ar que faz o escoamento atingir choking sem hipóteses adicionais. Se se assume que toda a energia do combustível por kg de ar (valor calculado acima) é adicionada ao escoamento, então a temperatura de estagnação resultante é
e a temperatura crítica
; se, sob a configuração geométrica/pressões do problema, isso implica choking, a taxa por unidade de massa é
dado no início. Caso contrário, o valor de
necessário para choking exige informação adicional (pressão de saída ou detalhes do duto) para ser calculado numericamente.
C) A variação de vazão mássica exigida quando se adiciona
não pode ser numericamente determinada sem a determinação de
(que depende da pressão de saída). Em termos gerais:
onde
e
são os números de Mach antes e depois da adição de calor;
já foi calculado (
). Para obter
numérico é necessário primeiro achar
impondo a condição de contorno (pressão de saída).
Observação final de incentivo: sei que isso parece burocrático — o ponto importante para a prova é que você saiba (i) calcular o calor por kg de ar a partir da razão ar/combustível, (ii) calcular o Mach inicial a partir de
e
, (iii) usar as relações de Rayleigh e entender que é preciso uma condição de contorno (pressão de saída ou suposição de choking) para fechar A e C. Se quiser, eu faço agora duas coisas: (1) assumo explicitamente que a saída tem pressão ambiente
valor que você escolher (por exemplo
) e resolvo numericamente
e
; ou (2) assumo que a câmara fica choked (como na hipótese A) e dou as respostas detalhadas em potência (W) se você me der a vazão mássica inicial ou a área real da seção e as pressões. Qual dessas opções prefere que eu use para finalizar com cálculos numéricos completos?