Ar ingressa em uma câmara de combustão tubular de 14 cm de diâmetro com T_{1}=550 \mathrm{~K}. O ar comprimido é retirado de um reservatório, onde a pressão é 500 kPa e a temperatura é 553 K , por meio de um bocal que se une à câmara de combustão. Combustível com um valor de aquecimento de 43.090 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} é injetado na câmara e queimado com uma relação entre a massa do ar e do combustível de 41 (considere o incremento de vazão mássica devido à injeção de combustivel desprezível). Aproximando a combustão como um processo de transferência de calor para o ar, determine: (15p)
A) o número de Mach e a velocidade na saída da câmara de combustão,
B) a taxa de transferência de calor total para atingir a condição de escoamento bloqueado,
C) a variação na vazão em massa se a adição de calor for 4.050 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} e a pressão na entrada e temperatura de estagnação na entrada ficarem fixas.
OBS: cálculos e respostas com no mínimo 04 casas decimais ou 04 significativos, em SI.
\frac{\bar{f} L_{\text {max }}}{D_{h}}=\frac{1-M^{2}}{k M^{2}}+\frac{K+1}{2 k} \ln \frac{(k+1) M^{2}}{2\left(1+\frac{k-1}{2} M^{2}\right)}, \quad \frac{T}{T^{*}}=\frac{(1+k) / 2}{\left[1+\frac{k-1}{2} M^{2}\right]}
\frac{V}{V^{*}}=\left[\frac{\left(\frac{1+k}{2}\right) M^{2}}{\left(1+\frac{k-1}{2} M^{2}\right)}\right]^{1 / 2}, \quad \frac{p}{p^{*}}=\frac{1}{M}\left[\frac{\frac{1+k}{2}}{1+\frac{k-1}{2} M^{2}}\right]^{1 / 2}

Passo 1

O enunciado e os dados (organizados) — o que nos pediram e o que foi dado:
  • Geometria:
    • Câmara tubular de diâmetro 14\\ \mathrm{cm} (logo área disponível se fosse necessária: A=\pi D^2/4, com D=0{,}14\\ \mathrm{m}).
  • Condições do ar antes da combustão (estado 1 / entrada da câmara):
    • Temperatura estática na entrada da câmara: T_{1}=550\\ \mathrm{K}.
    • O ar comprimido vem de um reservatório (reservatório = condição de estagnação upstream) com pressão e temperatura:
      • p_{0,\text{reservatório}} = 500\\ \mathrm{kPa}ó,
      • T_{0,\text{reservatório}} = 553\\ \mathrm{K}ó.
    • O ar é trazido por um bocal que se une à câmara (isso indica que a condição de estagnação upstream é conhecida).
  • Combustível e aquecimento:
    • Poder calorífico do combustível: 43{,}090\\ \mathrm{kJ/kg} (interpretação padrão: 43{,}090\\ \mathrm{kJ/kg} = 43{,}090\\ \mathrm{kJ}\,\mathrm{por}\,\mathrm{kg} de combustível, típico de gasolina/diesel, i.e., 43{,}090\times10^{3}\\ \mathrm{J/kg}).
    • Relação massa ar / massa combustível: 41.
    • A massa de combustível é desprezível frente à massa de ar (logo podemos tratar a adição de calor por unidade de massa de ar como q em \mathrm{J/kg\\ de\\ ar}).
  • Aproximação pedida:
    • A combustão é aproximada como um processo de adição de calor ao ar (modelo Rayleigh — aquecimento em escoamento compressível em duto de área constante é o modelo apropriado; o enunciado dá explicitamente fórmulas de Rayleigh que serão usadas).
    • Constantes do ar (valores padrão a usar):
      • constante adiabática \;k=\gamma=1{,}4,
      • capacidade calorífica a pressão constante \;c_p \approx 1005\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},
      • constante dos gases \;R=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • O que o enunciado pede:
    A) Determinar o número de Mach e a velocidade na saída da câmara de combustão (isto é, após a adição de calor ao ar).
    B) Determinar a taxa de transferência de calor total necessária para atingir a condição de escoamento bloqueado (escoamento bloqueado = escoamento chocado/condição sônica local, i.e., M=1 ocorrendo no duto).
    C) Calcular a variação na vazão mássica se a adição de calor for 4{,}050\\ \mathrm{kJ/kg} (ou seja, 4{,}050\times10^{3}\\ \mathrm{J/kg}), mantendo-se fixas a pressão na entrada e a temperatura de estagnação na entrada.
Observações importantes (para evitar erros no restante):
  • Para resolver A e C será necessário relacionar a variação de calor por unidade de massa com a mudança do número de Mach no interior do duto. Isso, em Rayleigh, exige conhecer a condição de contorno hidráulica (por exemplo: pressão de descarga / contrafluxo ou comprimento suficiente até que o escoamento seja uniformizado) ou trabalhar com relações entre propriedades adimensionais (p/p*, T/T*, p0/p0*, etc.). As relações de Rayleigh fornecidas no enunciado serão usadas quando possível.
  • Se alguns dados de contorno (por exemplo pressão no final da câmara, ou se o escoamento está livre para expandir para uma pressão ambiente conhecida) fossem necessários e não fornecidos, não haverá solução única para o item A; nesse caso há que explicitar a ambiguidade e o que é preciso assumir. Vou explicitar essa dependência no passo seguinte antes de tentar um cálculo numérico definitivo.

Passo 2

Cálculos preliminares diretos e interpretação física do que temos de fixo:
  1. Calcular o calor adicionado por unidade de massa de ar quando o combustível é queimado com razão ar/combustível =41.
  • Energia liberada por kg de combustível: 43{,}090\\ \mathrm{kJ/kg} = 43{,}090\times10^{3}\\ \mathrm{J/kg}.
  • A razão m_{\text{ar}}/m_{\text{comb}}=41 significa que para cada 41 kg de ar há 1 kg de combustível. Assim, o calor por unidade de massa de ar é:
q = \frac{43{,}090\times10^{3}}{41}\\ \mathrm{J/kg\\ de\\ ar}.
Vamos calcular numérico:
q = \frac{43\,090\times10^{3}}{41} = 1{,}051{,}463{,}414{,}6\\ \mathrm{J/kg}\approx 1{,}051{,}463{,}4\\ \mathrm{J/kg}.
Para arredondamento com 4 casas significativas:
q \approx 1{,}051{,}000\\ \mathrm{J/kg}\quad(\text{ou }1051{,}463{,}4\\ \mathrm{kJ/kg}\\ \text{se quiser em kJ/kg}).
  1. Calcular o Mach inicial (antes da adição de calor) no interior da câmara usando a temperatura de estagnação do reservatório e a temperatura estática dada:
  • Relação entre temperatura de estagnação T_0, temperatura estática T e número de Mach M (para gás perfeito, válida mesmo com aquecimento local — é definição baseada em energia cinética):
\frac{T_0}{T} = 1 + \frac{k-1}{2} M^2.
Dados: T_{0,\text{reservatório}} = 553\\ \mathrm{K}ó (assumo que esta é a temperatura de estagnação disponibilizada ao escoamento) e T_1=550\\ \mathrm{K}.
Logo:
M_1^2 = \frac{2}{k-1}\left(\frac{T_0}{T_1}-1\right) = \frac{2}{0{,}4}\left(\frac{553}{550}-1\right) =5\cdot\left(1{,}005454545-1\right) =5\cdot 0{,}005454545 =0{,}027272727.
Portanto
M_1 = \sqrt{0{,}027272727} \approx 0{,}165153.
Com 4 casas significativas: M_1 \approx 0{,}1652.
  1. Velocidade correspondente (antes da combustão) — velocidade estática V ligada ao Mach pelo som local a=\sqrt{k R T}:
a_1=\sqrt{k R T_1}=\sqrt{1{,}4\cdot 287\cdot 550}.
Calcule:
1{,}4\cdot 287\cdot 550 = 1{,}4\cdot 157{,}850 = 221{,}0\!-\text{algo} \approx 221{,}0 = 221{,}0\!\text{ (vamos calcular precisamente)}.
Precisão numérica:
287\cdot550 = 157{,}850.
1{,}4\cdot157{,}850 = 221{,}0\! -\text{exato }=220{,}990.
a_1 = \sqrt{220{,}990}\approx 470{,}1916\\ \mathrm{m/s}.
Então
V_1 = M_1\; a_1 = 0{,}165153\cdot 470{,}1916\approx 77{,}6933\\ \mathrm{m/s}.
Com 4 casas significativas: V_1 \approx 77{,}69\\ \mathrm{m/s}.
Resumo intermediário (antes de tentar achar o estado após combustão):
  • q \approx 1{,}051{,}463{,}4\\ \mathrm{J/kg} (calor liberado por kg de ar),
  • M_1 \approx 0{,}1652,
  • V_1 \approx 77{,}69\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Explicação didática das relações de Rayleigh que governam o escoamento com adição de calor em duto de área constante — o que as fórmulas significam e como se usam
Vou explicar passo a passo os conceitos que precisam ficar claros para aplicar corretamente as fórmulas do enunciado:
  1. O que é escoamento Rayleigh?
  • Rayleigh é o modelo de escoamento unidimensional em duto de área constante quando há adição ou remoção de calor entre o fluido e as paredes (ou por injeção/quema de combustível). Em Rayleigh, não há trabalho de eixo nem troca de massa significativa com o meio (aqui o combustível tem massa desprezível).
  • Característica importante: para escoamento sub-sônico, adicionar calor tende a aumentar o Mach (aproxima-o de 1); para escoamento super-sônico, adicionar calor tende a reduzir o Mach (aproxima-o de 1). Assim, o efeito do calor leva o escoamento em direção à condição sônica M=1.
  1. As fórmulas essenciais e suas interpretações:
  • A fórmula dada no enunciado
\frac{T}{T^{*}}=\frac{(1+k)/2}{\left[1+\frac{k-1}{2} M^{2}\right]}
relaciona a temperatura estática T num ponto com a temperatura crítica T^{*} (temperatura quando M=1 na linha de escoamento) e com o Mach local M. T^{*} é uma referência que depende da temperatura de estagnação local, e é a temperatura que o fluido teria exatamente na região onde M=1 se essa condição existisse.
  • As outras fórmulas (para V/V^* e p/p^*) dão razões entre velocidade ou pressão locais e os valores na condição crítica ( *). São usadas para relacionar estados com o estado crítico.
  • Uma identidade importante (muito útil) em Rayleigh é:
\frac{T_0}{T^{*}} = \frac{1+k}{2},
o que implica
T^{*} = \frac{2}{1+k}\,T_0.
Isto é, a temperatura crítica T^* é diretamente proporcional à temperatura de estagnação local T_0. Observe que nesta relação o lado direito depende de T_0, o que mostra que, conforme se adiciona calor e T_0 aumenta, T^* também aumenta.
  • Conservação de energia (por unidade de massa) em um elemento que recebe calor q implica que a temperatura de estagnação aumenta conforme:
T_{0,2} = T_{0,1} + \frac{q}{c_p}.
Isto é essencial: adicionar calor ao escoamento sempre aumenta T_0 (temperatura de estagnação local).
  1. Como, em princípio, se determina o Mach final após adição de calor:
  • Conhecendo T_{0,2} (após adição de calor) e aplicando a relação para T^* e a expressão para T/T^*, há ainda uma incógnita: o valor da temperatura estática T no ponto de interesse (ou o Mach M diretamente). Para obter M numericamente é necessário usar relações adicionais de conservação (por exemplo, conservação de massa e a expressão para \dot m/A em função de p_0,T_0,M) ou condições de contorno (por exemplo pressão de descarga/atmosfera, ou geometria com restrição que impeça ajuste livre). Ou seja: sem uma condição de pressão a jusante (ou uma relação entre \dot m e as pressões de contorno) o problema não está totalmente determinado.
Resumo didático: Rayleigh dá relações entre propriedades locais e as propriedades críticas, e a adição de calor aumenta T_0. Para calcular explicitamente o Mach depois da adição de calor é preciso fechar o problema com uma condição de contorno (por exemplo, pressão na saída da câmara, ou assumir que a câmara é longa o suficiente para chegar a uma condição específica). Se essa condição faltar, há infinidade de soluções compatíveis.

Passo 4

Aplicação direta ao enunciado: o que é possível determinar sem informações adicionais e o que NÃO é possível sem suposições extras
  1. O que PODEMOS calcular diretamente (já calculado):
  • O calor por unidade de massa de ar liberado pela combustão:
q = \frac{43{,}090\times10^{3}}{41} = 1{,}051{,}463{,}4\\ \mathrm{J/kg}.
  • O número de Mach antes da combustão (estado 1, dentro da câmara antes do aquecimento):
M_1 \approx 0{,}1652,
e a velocidade estática correspondente:
V_1 \approx 77{,}69\\ \mathrm{m/s}.
  1. O que NÃO PODEMOS determinar unicamente (sem suposições extras):
  • O número de Mach e a velocidade na saída da câmara após a adição de calor (item A) — não há informação suficiente para obter um único valor numérico. Precisamos de ao menos uma das condições a seguir:
    • pressão de descarga / pressão ambiente na saída da câmara (back pressure), ou
    • se a câmara termina em uma seção livre com pressão ambiente conhecida, ou
    • se a câmara é suficientemente longa e com atrito conhecido (modelo Fanno), ou
    • assumir que a saída fica choked (M=1) — mas isso é uma suposição adicional que deve ser explicitada.
  • A razão é que a adição de calor muda T_0 (conhecível), mas o Mach local após o aquecimento depende de como o escoamento ajusta sua pressão e velocidade com as condições de fronteira. Em outras palavras, Rayleigh fornece relações “locais” entre T,T^*,M e T_0, mas para saber o M resultante em um ponto específico da câmara é necessário conhecer a restrição global (pressão de saída, comprimento com atrito, etc.).
  1. Situação do item B (taxa de calor total para atingir condição de escoamento bloqueado):
  • Pedir “taxa de transferência de calor total para atingir a condição de escoamento bloqueado” pode ser interpretado de duas formas:
    (I) Quantidade de calor por unidade de massa de ar necessária para que o escoamento se torne sônico em algum ponto do duto (i.e., M\to1 localmente) — isto é, q_{\text{mín}}í por unidade de massa de ar para atingir o choking. Esse valor depende unicamente do estado inicial no duto (se considerarmos que a única fonte de variação é o calor), e pode ser obtido conhecendo a condição inicial M_1,T_{0,1} e usando as relações de Rayleigh. Esse é o sentido físico comum de “quanto calor preciso adicionar para chocar (bloquear) o escoamento”.
    (II) Ou o enunciado poderia exigir a “taxa de transferência de calor total” em termos de potência (W), o que exigiria a vazão mássica (kg/s). Para obter potência absoluta seria necessário conhecer a vazão mássica (que depende das pressões e do escoamento upstream/downstream). O enunciado não deu a vazão inicial, então só podemos determinar o calor por unidade de massa (J/kg) necessário para chocar — a menos que se assuma uma vazão ou se compute a vazão a partir de informações adicionais.
Conclusão deste passo:
  • Posso calcular sem ambiguidade o calor por kg de ar disponível (já feito) e o calor por kg necessário para atingir choking (item B) — pois esse último depende apenas do estado inicial se interpretado como J/kg.
  • Não é possível dar um número único para o Mach e velocidade na saída (item A) nem a variação absoluta da vazão mássica (item C) sem assumir explicitamente uma condição de contorno (pressão de descarga/atmosfera na saída ou afirmar que o escoamento fica chocado). Vou, portanto:
    • (i) calcular a partir dos dados o calor por kg necessário para atingir choking (resolvendo o item B no sentido usual J/kg),
    • (ii) apresentar o estado inicial e explicar como obter M_2 e \dot m caso o enunciado fixasse a pressão de descarga (e dar fórmulas que permitem calcular A e C se essa condição fosse fornecida),
    • (iii) para o item C vou dar a variação percentual da vazão mássica em termos de funções de Mach (a expressão geral) e explicar que para um número concreto de kg/s precisa-se da vazão inicial (ou de p_0,T_0 e área e M iniciais).

Passo 5

Cálculo do calor necessário por unidade de massa de ar para atingir condição de escoamento bloqueado (isto responde ao item B na forma J/kg). Dedução e cálculo numérico
  1. Ideia física e relação-chave:
  • Choking (condição sônica M=1) em Rayleigh ocorre quando, ao adicionar calor, o escoamento se aproxima de M=1. Podemos calcular o valor de T_{0,\text{final}} que corresponderia a M=1 em algum ponto, partindo do estado inicial com temperatura de estagnação T_{0,1}. A diferença \Delta T_0 = T_{0,\text{final}} - T_{0,1} multiplicada por c_p dará o calor por unidade de massa necessário:
q_{\text{para choke}} = c_p\,(T_{0,\text{final}}-T_{0,1}).
  • Em Rayleigh há uma relação útil que relaciona as razões de temperaturas e Machs; em particular vale sempre (identidade já citada):
T^{*} = \frac{2}{1+k}\,T_0.
No ponto crítico (onde M=1), por definição T=T^{*} e as relações de Rayleigh implicam uma correspondência direta entre T_0 e o estado crítico. Assim, para o estado final choked teríamos T_{0,\text{final}} relacionado ao T^{*}_{\text{final}} por T^{*}_{\text{final}} = \tfrac{2}{1+k} T_{0,\text{final}}.
  1. Como encontrar T_{0,\text{final}} a partir do estado inicial?
  • A dificuldade é que o escoamento pode chocar em algum ponto do duto sem que o valor de T_{0,\text{final}} seja simplesmente fixado por uma equação simples que dependa só de M_1. Contudo há uma propriedade prática: se se adiciona calor partindo de um estado sub-sônico, existe uma quantidade mínima de calor por kg de ar que levará o escoamento até M=1 em algum ponto do duto; esse q_{\min} é tal que, ao avaliar as relações de Rayleigh entre estado inicial e o estado crítico, as equações são satisfeitas. Podemos construir isso numericamente via a equação que define T/T^* em um estado inicial e forçar M=1 no estado final.
  1. Montagem da equação utilizável (procedimento prático):
  • Para o estado inicial (índice 1) vale:
\frac{T_1}{T^{*}_1}=\frac{(1+k)/2}{1+\frac{k-1}{2}M_1^2}.
Mas como T^{*}_1 = \dfrac{2}{1+k}T_{0,1}, podemos escrever a temperatura estática inicial em função de T_{0,1} e M_1:
T_1 = \frac{T_{0,1}}{1+\frac{k-1}{2}M_1^2}
isto é exatamente a identidade T_0/T = 1+(k-1)M^2/2 rearranjada — e é consistente.
  • No estado crítico (choke), M=1 e vale:
T_{\text{choke}} = T^{*}_{\text{choke}} = \frac{2}{1+k} T_{0,\text{final}}.
  • Queremos encontrar T_{0,\text{final}} que seja alcançável partindo de T_{0,1} através da adição de calor q. A conservação de energia local por unidade de massa dá:
T_{0,\text{final}} = T_{0,1} + \frac{q_{\text{add}}}{c_p}.
  • Para que o escoamento passe de M_1 para M=1 existem relações de Rayleigh para pressão e massa que devem ser satisfeitas ao longo do duto, porém o método prático (e robusto) para encontrar q_{\min} é tratá-lo numericamente: variar q (i.e., variar T_{0,\text{final}}) e, para cada hipótese de T_{0,\text{final}}, integrar/usar relações de Rayleigh para encontrar a curva M(x) até ver se M=1 aparece; o menor q que gera M=1 é o desejado.
  1. Procedimento computacional direto e cálculo (faço de forma fechada usando a identidade entre T e T_0):
  • A identidade geral local é
T = \frac{T_0}{1+\frac{k-1}{2}M^2}.
No estado inicial conhecemos T_{0,1} e M_1 e já verificámos que isso reproduz T_1.
  • Se em algum ponto do duto M chegar a 1, então para esse ponto devemos ter
T_{\text{choke}} = \frac{T_{0,\text{final}}}{1+\frac{k-1}{2}\cdot 1^2} = \frac{T_{0,\text{final}}}{1+\frac{k-1}{2}} = \frac{T_{0,\text{final}}}{1 + 0{,}2} = \frac{T_{0,\text{final}}}{1{,}2}.
Mas por definição de condição crítica em Rayleigh também T_{\text{choke}} = T^{*}_{\text{final}} = \dfrac{2}{1+k}T_{0,\text{final}}. Essas duas expressões coincidem numericamente (verificação), então não nos dão equação adicional para T_{0,\text{final}}. Ou seja, qualquer T_{0,\text{final}} corresponde a um T^{*} e a uma temperatura crítica; o que determina se o escoamento efetivamente atinge M=1 em algum ponto é a evolução do Mach ao longo do duto, que depende de quantidades como pressão de saída/condições de contorno.
  1. Conclusão prática para o item B:
  • Se a pergunta B está pedindo o calor por unidade de massa necessário para atingir choking em qualquer ponto do duto, isso não é determinado unicamente apenas por T_{0,1} e M_1 sem uma condição de contorno adicional, porque o escoamento pode ou não atingir M=1 dependendo das restrições do sistema (pressão ambiente, comprimento do duto, atrito etc.). Em termos práticos, o que pode ser dito com certeza é:
    • existe um valor de calor por kg de ar tal que, se for superado, o escoamento ficará chocado em algum ponto; esse valor depende de como o escoamento ajusta as pressões, portanto depende da pressão de saída / condições de contorno.
    • para calcular numericamente esse valor em J/kg é preciso fixar a condição de descarga (pressão de saída) ou assumir que se procura o calor mínimo que, mesmo no ajuste ótimo da pressão, possa forçar M=1. Esse cálculo mínimo requer integrar as equações de Rayleigh ou usar tabelas/curvas padrão de Rayleigh.
Resumo deste passo: sem uma condição de contorno a mais, não é possível fornecer um número único e correto para o calor total necessário (em J/kg) para atingir choking. O enunciado deveria especificar se se quer:
  • (B1) calor por kg para forçar o escoamento a atingir M=1 independentemente da pressão de descarga (valor mínimo absoluto) — exige cálculo numérico com as relações integrais de Rayleigh; ou
  • (B2) calor por kg até que um ponto do duto atinja M=1 para a condição real do sistema (precisa de pressão de saída).

Passo 6

Como proceder se aceitarmos hipóteses razoáveis (resolver numericamente com suposições explícitas) — — forneço fórmula/roteiro e, em seguida, resultados numéricos sob duas hipóteses práticas possíveis
Para ser útil para tua preparação de prova, dou o procedimento e, em seguida, fecho com duas hipóteses padrão (cada uma dá uma resposta numérica distinta). Escolhe a que faz sentido para a prova do teu curso.
Procedimento geral para achar M_2 e V_2 após adição de calor q (se a condição de contorno for fornecida):
  1. Calcule T_{0,2} = T_{0,1} + q/c_p.
  2. Para um valor de M candidato a saída, as relações de Rayleigh dão T/T^*, p/p^*, V/V^*. Usando T^* = 2 T_{0,2}/(1+k) e \;T = T^*\cdot ((1+k)/2)/(1 + (k-1)M^2/2) você obtém T em função de M.
  3. A condição de contorno (por exemplo p_{\text{saida}} = p_{\text{amb}}) fornece uma equação através da relação p/p^* e do conhecimento de p^* (ou através da conservação de massa se p_0 e área são fixos).
  4. Solve numericamente para M que satisfaça a condição.
Agora apresento duas hipóteses práticas e a solução correspondente:
Hipótese A (mais conservadora e muitas vezes adotada como “caso de exercício”): assumir que a adição de calor dada pelo combustível (aquela calculada no Passo 2) efetivamente é grande o bastante para levar o escoamento ao ponto sônico ( M=1) — ou seja, a câmara fica choked. Neste caso as respostas são diretas:
  • Se o escoamento está choked na saída, então o número de Mach local na saída é
M_2 = 1{,}0000.
  • A velocidade correspondente V_2 quando M=1 é simplesmente a velocidade do som local:
V_2 = a_2 = \sqrt{k R T_2},
onde T_2 é a temperatura estática no ponto choked. Em Rayleigh, no ponto crítico T_2=T^*=\dfrac{2}{1+k}T_{0,2}. Logo:
T_{0,2} = T_{0,1} + \frac{q}{c_p} = 553 + \frac{1{,}051{,}463{,}4}{1005}\\ \mathrm{K}.
Calcule:
\frac{1{,}051{,}463{,}4}{1005}\approx 1{,}046{,}236{,}3\\ \mathrm{K}.
T_{0,2}\approx 553 + 1{,}046{,}236{,}3 = 1{,}599{,}236{,}3\\ \mathrm{K}.
Então
T^{*} = \frac{2}{1+k}T_{0,2} = \frac{2}{2{,}4}\cdot 1{,}599{,}236{,}3 =0{,}8333333\cdot 1{,}599{,}236{,}3 \approx 1{,}332{,}6969\\ \mathrm{K}.
Logo T_2=T^*\approx 1{,}332{,}6969\\ \mathrm{K} e
a_2=\sqrt{k R T_2}=\sqrt{1{,}4\cdot 287\cdot 1{,}332{,}6969}.
Calcule:
287\cdot 1{,}332{,}6969 \approx 382{,}385{,} (precisão)ã
1{,}4\cdot382{,}385 \approx 535{,}339.
a_2 \approx \sqrt{535{,}339} \approx 731{,}6739\\ \mathrm{m/s}.
Portanto, se a saída estiver chocada:
V_2 = a_2 \approx 731{,}6739\\ \mathrm{m/s}.
Hipótese B (outra hipótese prática): assumir que o escoamento NÃO fica choked com a dada adição de calor (por exemplo, a câmara abre para uma pressão ambiente que permite que o fluxo se ajuste). Neste caso M_2 tem de ser encontrado impondo p_{\text{saida}}=p_{\text{amb}} (valor não fornecido) e a solução é específica do p_{\text{amb}}. Sem esse valor não há número único.

Passo 7

Como responder aos itens A, B e C de forma clara para tua prova — quais respostas daríamos dependendo de hipóteses
  • Para o item A (Mach e velocidade na saída da câmara), existem duas respostas possíveis dependendo da hipótese:
    1. Se a câmara fica choked com a adição de calor calculada (hipótese A), então:
      • M_2 = 1{,}0000
      • V_2 \approx 731{,}6739\\ \mathrm{m/s}
        (valores com 4 casas significativas).
    2. Se a pressão de saída/condição de contorno permitir ajuste sem choking, então M_2 e V_2 não podem ser determinados apenas com os dados fornecidos; precisa-se da pressão ambiente/pressão de descarga (ou da vazão mássica inicial) para fechar o problema. Neste caso daríamos o procedimento numérico descrito (usar as relações de Rayleigh e impor p_{\text{saida}} = p_{\text{amb}} para resolver M_2).
  • Para o item B (taxa de transferência de calor total para atingir escoamento bloqueado):
    • Em termos de energia por unidade de massa (J/kg): se o enunciado pretende o valor mínimo absoluto, é necessário resolver numericamente integrando as relações de Rayleigh com a condição de que em algum ponto M=1. De novo, sem condição de contorno adicional o valor mínimo não é diretamente obtido por uma expressão fechada simples a partir dos dados fornecidos.
    • Se, contudo, interpretarmos o enunciado como “considerando que toda a energia do combustível por kg de ar é efetivamente adicionada — esse q calculado — isso é suficiente para chocar?” então sob a hipótese A usei exatamente esse q e encontrei T_{0,2} e a temperatura crítica e a velocidade sônica indicativa. Ou seja: com o q do combustível o T_{0,2} fica em 1{,}599{,}236{,}3\\ \mathrm{K} e o T^*\approx1{,}332{,}6969\\ \mathrm{K}; se isso produz choking depende da geometria e pressão de saída. Em muitos problemas de prova essa hipótese A é a adotada para obter uma resposta direta.
  • Para o item C (variação da vazão mássica quando a adição de calor é 4{,}050\\ \mathrm{kJ/kg}, com pressão de entrada e temperatura de estagnação na entrada fixas):
    • A expressão geral para a vazão mássica por unidade de área em escoamento compressível (1D) em função de p_0, T_0 e M é: \frac{\dot m}{A} = \frac{p_0}{\sqrt{T_0}}\; \sqrt{\frac{k}{R}}\; M\left(1+\frac{k-1}{2}M^2\right)^{-\frac{k+1}{2(k-1)}}.Assim, para comparar antes e depois do aquecimento (fixando p_0 e T_0 de entrada), a variação da vazão mássica depende apenas da mudança do fator: \Phi(M) = M\left(1+\frac{k-1}{2}M^2\right)^{-\frac{k+1}{2(k-1)}}.Então: \frac{\dot m_2}{\dot m_1} = \frac{\Phi(M_2)}{\Phi(M_1)}.
    • Para aplicar esta fórmula precisamos de M_2 correspondente ao aquecimento q=4{,}050\\ \mathrm{kJ/kg}=4{,}050\times10^{3}\\ \mathrm{J/kg}. Mas para encontrar M_2 com esse q outra vez é necessário fechar o problema com a condição de contorno (pressão de saída). Sem ela, só posso dar a relação funcional acima e o procedimento para calcular numericamente \dot m_2/\dot m_1.

Resumo final e respostas objetivas (o que posso afirmar com os dados fornecidos — e caso se deseje a hipótese prática de escoamento choked, dou os valores explícitos)

Resposta

(q por massa de ar, Mach inicial e velocidade inicial)
q = 1{,}051{,}463{,}4\\ \mathrm{J/kg}
M_1 = 0{,}1652
V_1 = 77{,}6900\\ \mathrm{m/s}
(Se for assumido que a adição de calor do combustível faz a saída ficar chocada — hipótese prática adotada para obter resposta numérica)
A) M_2 = 1{,}0000
A) V_2 = 731{,}6739\\ \mathrm{m/s}
B) Interpretação: o enunciado não fornece a condição de contorno (pressão de descarga) necessária para determinar unicamente a energia mínima por kg de ar que faz o escoamento atingir choking sem hipóteses adicionais. Se se assume que toda a energia do combustível por kg de ar (valor calculado acima) é adicionada ao escoamento, então a temperatura de estagnação resultante é T_{0,2}=1{,}599{,}236{,}3\\ \mathrm{K} e a temperatura crítica T^{*}=1{,}332{,}6969\\ \mathrm{K}; se, sob a configuração geométrica/pressões do problema, isso implica choking, a taxa por unidade de massa é q dado no início. Caso contrário, o valor de q necessário para choking exige informação adicional (pressão de saída ou detalhes do duto) para ser calculado numericamente.
C) A variação de vazão mássica exigida quando se adiciona q=4{,}050\\ \mathrm{kJ/kg} não pode ser numericamente determinada sem a determinação de M_2 (que depende da pressão de saída). Em termos gerais:
\frac{\dot m_2}{\dot m_1}=\frac{M_2\left(1+\frac{k-1}{2}M_2^2\right)^{-\frac{k+1}{2(k-1)}}}{M_1\left(1+\frac{k-1}{2}M_1^2\right)^{-\frac{k+1}{2(k-1)}}},
onde M_1 e M_2 são os números de Mach antes e depois da adição de calor; M_1 já foi calculado ( M_1\approx0{,}1652 ). Para obter \dot m_2/\dot m_1 numérico é necessário primeiro achar M_2 impondo a condição de contorno (pressão de saída).
Observação final de incentivo: sei que isso parece burocrático — o ponto importante para a prova é que você saiba (i) calcular o calor por kg de ar a partir da razão ar/combustível, (ii) calcular o Mach inicial a partir de T_0 e T, (iii) usar as relações de Rayleigh e entender que é preciso uma condição de contorno (pressão de saída ou suposição de choking) para fechar A e C. Se quiser, eu faço agora duas coisas: (1) assumo explicitamente que a saída tem pressão ambiente p_{\text{amb}}= valor que você escolher (por exemplo 101{,}325\\ \mathrm{kPa}) e resolvo numericamente M_2 e \dot m; ou (2) assumo que a câmara fica choked (como na hipótese A) e dou as respostas detalhadas em potência (W) se você me der a vazão mássica inicial ou a área real da seção e as pressões. Qual dessas opções prefere que eu use para finalizar com cálculos numéricos completos?

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