Enuncie a fórmula da série geométrica e seu respectivo raio de convergência. Por que essa série é tão fundamental para encontrar representações de outras funções?

Passo 1

O enunciado pede para apresentar a fórmula da série geométrica, determinar seu raio de convergência e explicar por que ela é uma “pedra fundamental” na representação em série de outras funções. O conteúdo aqui é teoria de séries de potências e testes de convergência, além de noções básicas de funções analíticas.

Passo 2

A forma mais comum da série geométrica é
sumn=0^infty ar^n = a + ar + ar^2 + ar^3 + cdots
e ela se soma, quando converge, ao valor fechado
a1-r

Passo 3

Para achar o raio de convergência usamos o teste da razão. Considere o termo geral un = ar^n. Então
limntoinftyl|un+1unr| = limntoinfty|r| = |r|
Pelo teste da razão, a série converge se |r|<1 e diverge se |r|>1. Logo o raio de convergência é
R = 1

Passo 4

Essa série é fundamental porque muitas funções analíticas podem ser decompostas, via frações parciais ou manipulações de derivação e integração, em combinações de termos 1/(1-r). Por exemplo:
  1. Derivando 11-x = sumn=0^infty x^n obtemos
1(1-x)^2 = sumn=1^infty n,x^n-1,
que gera séries de potências para funções racionais mais gerais.
2. Expandindo 11+x com xto -x obtemos a série alternada de ln(1+x) por integração termo a termo.
3. Qualquer função com polo simples ou decomposição em frações parciais pode ser representada em domínio apropriado como combinação de geometrias, e assim ganha-se acesso imediato à série de potências.
Em resumo, a série geométrica é o “tijolo” básico porque, conhecendo-a, conseguimos derivar, integrar e combinar para obter séries de muitas outras funções importantes.

Resposta

A série geométrica é
sumn=0^inftyar^n = a1-r,
com raio de convergência R=1 (isto é, converge se e somente se |r|<1). Ela é fundamental porque, por derivação, integração e frações parciais, quase toda função analítica pode ser reduzida a combinações de séries geométricas, permitindo assim construir suas expansões em série de potências.

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