O que é uma série de potências centrada em a ?
O que significa representar uma função f(x) como uma série de potências centrada em a ? Qual a importância do raio de convergência nesse contexto?

Passo 1

O enunciado quer que a gente entenda o conceito de série de potências centrada em a, o que significa representar uma função f(x) por esse tipo de série e o papel do raio de convergência nesse contexto. Esses conceitos fazem parte do estudo de séries infinitas em análise real ou complexa.

Passo 2

Uma série de potências centrada em a é uma soma infinita de termos da forma
sumn=0^infty cn ,(x - a)^n,
onde os cn são coeficientes (números reais ou complexos) e a é o ponto em torno do qual “expandimos” a série. Cada termo envolve uma potência de (x-a), de modo que a série “se ajusta” localmente à função em torno de x=a.

Passo 3

Representar uma função f(x) como uma série de potências centrada em a significa encontrar coeficientes cn tais que, para valores de x próximos de a,
f(x) = sumn=0^infty cn,(x - a)^n
Na prática, isso equivale a aproximar f por polinômios de grau crescente, o que é útil tanto para cálculo de valores aproximados quanto para análise teórica (por exemplo, soluções de equações diferenciais, transformadas, etc.).

Passo 4

O raio de convergência R é a distância máxima a partir de a para a qual a série
sumn=0^infty cn,(x - a)^n
converge. Em termos práticos:
  • Se |x - a| < R, a série converge (e representa a função f(x)).
  • Se |x - a| > R, a série diverge.
  • Se |x - a| = R, é preciso testar caso a caso.
O raio de convergência é fundamental porque define o intervalo (ou disco, no caso complexo) de validade da expansão em série de potências. Fora desse intervalo, a representação perde sentido.

Resposta

Uma série de potências centrada em a é
sumn=0^infty cn,(x - a)^n
Representar f(x) dessa forma significa achar coeficientes cn tais que f(x) seja igual à soma da série sempre que |x - a|<R. O raio de convergência R determina até onde essa expansão é válida, definindo o intervalo ou disco em que a série realmente converge para f(x).

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