O que é uma série de potências centrada em
?
O que significa representar uma função
como uma série de potências centrada em
? Qual a importância do raio de convergência nesse contexto?
O que significa representar uma função
Passo 1
O enunciado quer que a gente entenda o conceito de série de potências centrada em
, o que significa representar uma função
por esse tipo de série e o papel do raio de convergência nesse contexto. Esses conceitos fazem parte do estudo de séries infinitas em análise real ou complexa.
Passo 2
Uma série de potências centrada em
é uma soma infinita de termos da forma
onde os
são coeficientes (números reais ou complexos) e
é o ponto em torno do qual “expandimos” a série. Cada termo envolve uma potência de
, de modo que a série “se ajusta” localmente à função em torno de
.
Passo 3
Representar uma função
como uma série de potências centrada em
significa encontrar coeficientes
tais que, para valores de
próximos de
,
Na prática, isso equivale a aproximar
por polinômios de grau crescente, o que é útil tanto para cálculo de valores aproximados quanto para análise teórica (por exemplo, soluções de equações diferenciais, transformadas, etc.).
Passo 4
O raio de convergência
é a distância máxima a partir de
para a qual a série
converge. Em termos práticos:
- Se
, a série converge (e representa a função ). - Se
, a série diverge. - Se
, é preciso testar caso a caso.
O raio de convergência é fundamental porque define o intervalo (ou disco, no caso complexo) de validade da expansão em série de potências. Fora desse intervalo, a representação perde sentido.
Resposta
Uma série de potências centrada em
é
Representar
dessa forma significa achar coeficientes
tais que
seja igual à soma da série sempre que
. O raio de convergência
determina até onde essa expansão é válida, definindo o intervalo ou disco em que a série realmente converge para
.