Enuncie um grupo onde a recíproca do Teorema de Lagrange não é verdadeira. Justifique!
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar um grupo onde a recíproca do Teorema de Lagrange não é verdadeira. O Teorema de Lagrange diz que, em um grupo finito
, a ordem de qualquer subgrupo
divide a ordem de
. A recíproca seria: se um número
divide a ordem de
, então existe um subgrupo de ordem
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer exemplos de grupos e analisar se a recíproca se mantém nesses casos.
Passo 2
Vamos considerar o grupo alternante
, que é o grupo das permutações pares de quatro elementos. A ordem de
é
.
Passo 3
Segundo o Teorema de Lagrange, os possíveis tamanhos dos subgrupos de
devem dividir 12. Assim, os possíveis tamanhos são 1, 2, 3, 4, 6 e 12. Sabemos que
tem subgrupos de ordem 1 (o trivial), 2, 3, 4 e 12. No entanto, não existe um subgrupo de ordem 6 em
.
Passo 4
Isso demonstra que, mesmo que 6 divida a ordem de
, não há um subgrupo de ordem 6 em
. Portanto, a recíproca do Teorema de Lagrange não é verdadeira para este grupo específico.
Resposta
Um exemplo é o grupo alternante
, de ordem 12. Embora 6 divida 12, não existe um subgrupo de ordem 6 em
. Assim, a recíproca do Teorema de Lagrange não é verdadeira nesse caso.