Enuncie um grupo onde a recíproca do Teorema de Lagrange não é verdadeira. Justifique!

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar um grupo onde a recíproca do Teorema de Lagrange não é verdadeira. O Teorema de Lagrange diz que, em um grupo finito G , a ordem de qualquer subgrupo H divide a ordem de G . A recíproca seria: se um número n divide a ordem de G , então existe um subgrupo de ordem n . Para resolver isso, vamos precisar conhecer exemplos de grupos e analisar se a recíproca se mantém nesses casos.

Passo 2

Vamos considerar o grupo alternante A4 , que é o grupo das permutações pares de quatro elementos. A ordem de A4 é |A4| = 12 .

Passo 3

Segundo o Teorema de Lagrange, os possíveis tamanhos dos subgrupos de A4 devem dividir 12. Assim, os possíveis tamanhos são 1, 2, 3, 4, 6 e 12. Sabemos que A4 tem subgrupos de ordem 1 (o trivial), 2, 3, 4 e 12. No entanto, não existe um subgrupo de ordem 6 em A4 .

Passo 4

Isso demonstra que, mesmo que 6 divida a ordem de A4 , não há um subgrupo de ordem 6 em A4 . Portanto, a recíproca do Teorema de Lagrange não é verdadeira para este grupo específico.

Resposta

Um exemplo é o grupo alternante A4 , de ordem 12. Embora 6 divida 12, não existe um subgrupo de ordem 6 em A4 . Assim, a recíproca do Teorema de Lagrange não é verdadeira nesse caso.

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