Sejam a, b \in \mathbb{Z}. Mostrar que
|a|=|b| \Longleftrightarrow a^{2}=b^{2} \Longleftrightarrow a=b ou a=-b

Passo 1

O enunciado dá os inteiros a,b\in\mathbb{Z} e pede para mostrar a equivalência entre as três afirmações
|a|=|b|\qquad\Longleftrightarrow\qquad a^{2}=b^{2}\qquad\Longleftrightarrow\qquad a=b\\ \text{ ou }\\ a=-b.
Ou seja, devo provar que cada uma dessas sentenças implica as outras (as duas implicações em cada equivalência). Lista das informações dadas:
  • a e b são inteiros.
  • As expressões envolvidas são o valor absoluto |\cdot| e o quadrado (\cdot)^{2}.

Passo 2

Provar que |a|=|b|\Rightarrow a^{2}=b^{2}.
Explicação da propriedade que vou usar: para qualquer inteiro x vale sempre |x|^{2}=x^{2}. Isso é porque, por definição, se x\ge0 então |x|=x e |x|^{2}=x^{2}; se x<0 então |x|=-x e |x|^{2}=(-x)^{2}=x^{2}. Logo |x|^{2}=x^{2} em todos os casos.
Aplicando essa propriedade a a e b: se |a|=|b| então, elevando ambos os lados ao quadrado,
|a|^{2}=|b|^{2}.
Pela propriedade acima isso é o mesmo que
a^{2}=b^{2}.
Portanto |a|=|b|\Rightarrow a^{2}=b^{2}.

Passo 3

Provar que a^{2}=b^{2}\Rightarrow |a|=|b|.
Como no passo anterior usámos que |x|^{2}=x^{2}, temos |a|^{2}=a^{2} e |b|^{2}=b^{2}. Se a^{2}=b^{2} então
|a|^{2}=|b|^{2}.
Agora observe que |a| e |b| são números não negativos. A função f(x)=x^{2} é injetora quando restrita aos reais não negativos, porque se s,t\ge0 e s^{2}=t^{2} então (s-t)(s+t)=0 e como s+t\ge0 segue s-t=0, isto é s=t. Aplicando isso a s=|a| e t=|b| obtemos |a|=|b|. Assim a^{2}=b^{2}\Rightarrow |a|=|b|.
(Junte os passos 2 e 3 para concluir que |a|=|b| e a^{2}=b^{2} são equivalentes.)

Passo 4

Provar que a^{2}=b^{2}\Rightarrow a=b ou a=-b.
Começo reescrevendo a igualdade como diferença de quadrados:
a^{2}-b^{2}=0.
Fatorando a diferença de quadrados:
(a-b)(a+b)=0.
Agora uso uma propriedade simples dos inteiros: se o produto de dois inteiros é zero, então pelo menos um dos fatores é zero. (Razão elementar: se u e v são inteiros não nulos, então |uv|=|u||v|\ge1, logo não pode ser zero; portanto se uv=0 um dos fatores deve ser zero.) Aplicando isso ao produto acima, ou a-b=0 ou a+b=0. No primeiro caso a=b; no segundo caso a=-b. Assim a^{2}=b^{2}\Rightarrow a=b ou a=-b.

Passo 5

Provar que a=b ou a=-b\Rightarrow a^{2}=b^{2}.
Isto é direto: se a=b então a^{2}=b^{2}. Se a=-b então
a^{2}=(-b)^{2}=b^{2}.
Portanto cada uma das duas possibilidades implica a^{2}=b^{2}.

Passo 6

Juntando os resultados anteriores temos a cadeia de equivalências completa.
Resumindo:
  • |a|=|b| é equivalente a a^{2}=b^{2} (Passos 2 e 3).
  • a^{2}=b^{2} é equivalente a a=b ou a=-b (Passos 4 e 5).
Logo
|a|=|b|\quad\Longleftrightarrow\quad a^{2}=b^{2}\quad\Longleftrightarrow\quad a=b\\ \text{ ou }\\ a=-b.

Resposta

|a|=|b|\Longleftrightarrow a^{2}=b^{2}\Longleftrightarrow a=b ou a=-b

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