Sejam
. Mostrar que
ou
Passo 1
O enunciado dá os inteiros
e pede para mostrar a equivalência entre as três afirmações
Ou seja, devo provar que cada uma dessas sentenças implica as outras (as duas implicações em cada equivalência). Lista das informações dadas:
-
e são inteiros. - As expressões envolvidas são o valor absoluto
e o quadrado .
Passo 2
Provar que
.
Explicação da propriedade que vou usar: para qualquer inteiro
vale sempre
. Isso é porque, por definição, se
então
e
; se
então
e
. Logo
em todos os casos.
Aplicando essa propriedade a
e
: se
então, elevando ambos os lados ao quadrado,
Pela propriedade acima isso é o mesmo que
Portanto
.
Passo 3
Provar que
.
Como no passo anterior usámos que
, temos
e
. Se
então
Agora observe que
e
são números não negativos. A função
é injetora quando restrita aos reais não negativos, porque se
e
então
e como
segue
, isto é
. Aplicando isso a
e
obtemos
. Assim
.
(Junte os passos 2 e 3 para concluir que
e
são equivalentes.)
Passo 4
Provar que
ou
.
Começo reescrevendo a igualdade como diferença de quadrados:
Fatorando a diferença de quadrados:
Agora uso uma propriedade simples dos inteiros: se o produto de dois inteiros é zero, então pelo menos um dos fatores é zero. (Razão elementar: se
e
são inteiros não nulos, então
, logo não pode ser zero; portanto se
um dos fatores deve ser zero.) Aplicando isso ao produto acima, ou
ou
. No primeiro caso
; no segundo caso
. Assim
ou
.
Passo 5
Provar que
ou
.
Isto é direto: se
então
. Se
então
Portanto cada uma das duas possibilidades implica
.
Passo 6
Juntando os resultados anteriores temos a cadeia de equivalências completa.
Resumindo:
-
é equivalente a (Passos 2 e 3). -
é equivalente a ou (Passos 4 e 5).
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