Sejam a, b \in \mathbb{Z}. Mostrar que
Se b \geq 0 então |a|=b \Longleftrightarrow a=b ou a=-b

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • a,b\in\mathbb{Z}.
  • b\ge 0.
    O que se pede: provar a equivalência
|a|=b \Longleftrightarrow a=b \text{ ou } a=-b.
Isto é, devo provar duas implicações: (i) se |a|=b então a=b ou a=-b; (ii) se a=b ou a=-b então |a|=b.

Passo 2

Definição e propriedade essencial que vou usar:
  • A definição do valor absoluto para qualquer inteiro a\) é \[|a|=\begin{cases} a, & \text{se } a\ge 0,\\[4pt] -a, & \text{se } a<0. \end{cases}
Explicação rápida: |a|\] é sempre um número não negativo; quando \(a já é não negativo, |a| é a mesmo; quando a é negativo, |a| é o oposto -a, que é positivo.]

Passo 3

Prova da implicação (=>): suponha |a|=b com b\ge 0. Vou separar em casos segundo o sinal de a.
Caso 1: a\ge 0. Pela definição, |a|=a. Como |a|=b, segue a=b. Portanto neste caso obtemos a=b.
Caso 2: a<0. Pela definição, |a|=-a. Como |a|=b, segue -a=b. Isolando a obtemos a=-b. Note que isto é consistente com b\ge 0 (se b\ge0 então a=-b\le 0, compatível com a hipótese a<0 ou a=0 no caso limite b=0). Portanto neste caso obtemos a=-b.
Como os dois casos cobrem todas as possibilidades para a, concluímos que se |a|=b então a=b ou a=-b.

Passo 4

Prova da implicação (<=): suponha que a=b ou a=-b, com b\ge 0. Provo que |a|=b.
Subcaso A: a=b. Como b\ge 0, tem-se a\ge 0. Pela definição do valor absoluto, |a|=a. Assim |a|=a=b, como queríamos.
Subcaso B: a=-b. Como b\ge 0, tem-se a=-b\le 0. Pela definição do valor absoluto, |a|=-a. Então
|a|=-a=-(-b)=b.
Logo |a|=b também neste subcaso.
Assim, em ambos os subcasos obtemos |a|=b. Portanto se a=b ou a=-b então |a|=b.

Passo 5

Juntando as duas implicações provadas em

Passo 6

|a|=b \Longleftrightarrow a=b \text{ ou } a=-b.

Resposta

Se b\ge 0 então |a|=b \Longleftrightarrow a=b ou a=-b.

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