Sejam
. Mostrar que
Se
então
ou
Se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
. -
.
O que se pede: provar a equivalência
Isto é, devo provar duas implicações: (i) se
então
ou
; (ii) se
ou
então
.
Passo 2
Definição e propriedade essencial que vou usar:
- A definição do valor absoluto para qualquer inteiro
Explicação rápida:
já é não negativo,
é
mesmo; quando
é negativo,
é o oposto
, que é positivo.]
Passo 3
Prova da implicação (=>): suponha
com
. Vou separar em casos segundo o sinal de
.
Caso 1:
. Pela definição,
. Como
, segue
. Portanto neste caso obtemos
.
Caso 2:
. Pela definição,
. Como
, segue
. Isolando
obtemos
. Note que isto é consistente com
(se
então
, compatível com a hipótese
ou
no caso limite
). Portanto neste caso obtemos
.
Como os dois casos cobrem todas as possibilidades para
, concluímos que se
então
ou
.
Passo 4
Prova da implicação (<=): suponha que
ou
, com
. Provo que
.
Subcaso A:
. Como
, tem-se
. Pela definição do valor absoluto,
. Assim
, como queríamos.
Subcaso B:
. Como
, tem-se
. Pela definição do valor absoluto,
. Então
Logo
também neste subcaso.
Assim, em ambos os subcasos obtemos
. Portanto se
ou
então
.
Passo 5
Juntando as duas implicações provadas em
Passo 6
Resposta
Se
então
ou
.