Enuncie precisamente cada proposição abaixo, incluindo quantificadores, domínio das variáveis e dê uma prova (completa) por contradição:
se
é ímpar então
é ímpar.
se
Passo 1
O enunciado pede para formular com precisão (quantificadores e domínio) a proposição “se
é ímpar então
é ímpar” e dar uma prova completa por contradição. O conteúdo usado será definição de número ímpar/par e método de prova por contradição em lógica de predicados.
Passo 2
Enunciado preciso da proposição:
Passo 3
Prova por contradição. Fixe um
e suponha
-
é ímpar, ou seja,
tal que - A conclusão é falsa, isto é,
não é ímpar, o que equivale a dizer que é par:
com
Passo 4
A partir de
temos
ou seja,
é par. Mas isso contraria a hipótese de que
é ímpar.
Passo 5
Como da suposição de que
é ímpar e de que
não é ímpar segue-se uma contradição, concluímos que a negação da conclusão não pode ocorrer. Logo a implicação é verdadeira para todo
.