Enuncie precisamente cada proposição abaixo, incluindo quantificadores, domínio das variáveis e dê uma prova (completa) por contradição:
se 3 n+2 é ímpar então n é ímpar.

Passo 1

O enunciado pede para formular com precisão (quantificadores e domínio) a proposição “se 3n+2 é ímpar então n é ímpar” e dar uma prova completa por contradição. O conteúdo usado será definição de número ímpar/par e método de prova por contradição em lógica de predicados.

Passo 2

Enunciado preciso da proposição:
\forall n \in \mathbb{Z},\;\Bigl[\bigl(\exists a \in \mathbb{Z}:\,3n+2 = 2a+1\bigr)\;\Longrightarrow\;\bigl(\exists b \in \mathbb{Z}:\,n = 2b+1\bigr)\Bigr].

Passo 3

Prova por contradição. Fixe um n\in\mathbb{Z} e suponha
  1. 3n+2 é ímpar, ou seja,
    \exists a\in\mathbb{Z} tal que 3n+2 = 2a+1.
  2. A conclusão é falsa, isto é, n não é ímpar, o que equivale a dizer que n é par:
    \exists b\in\mathbb{Z} com n = 2b.

Passo 4

A partir de n = 2b temos
3n+2 = 3(2b) + 2 = 6b + 2 = 2\,(3b+1),
ou seja, 3n+2 é par. Mas isso contraria a hipótese de que 3n+2 é ímpar.

Passo 5

Como da suposição de que 3n+2 é ímpar e de que n não é ímpar segue-se uma contradição, concluímos que a negação da conclusão não pode ocorrer. Logo a implicação é verdadeira para todo n\in\mathbb{Z}.

Resposta

\forall n \in \mathbb{Z},\;\bigl(3n+2\text{ é ímpar}\bigr)\;\Longrightarrow\;\bigl(n\text{ é ímpar}\bigr).éíéí

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