Enuncie precisamente cada proposição abaixo, incluindo quantificadores, domínio das variáveis e dê uma prova direta (completa, com todos os passos importantes necessários) para:
se a divide b e a divide c então a divide x b+y c, quaisquer que sejam x e y inteiros.

Passo 1

Enunciado preciso: seja
P(a,b,c,x,y)\equiv \forall a,b,c,x,y\in\mathbb{Z}\,\bigl(a\mid b\wedge a\mid c\implies a\mid (x\,b + y\,c)\bigr).
Aqui o domínio de todas as variáveis é \mathbb{Z}. Para provar P(a,b,c,x,y) faremos prova direta usando a definição de “ a\mid b”.

Passo 2

Vamos começar a prova direta. Suponha que a,b,c,x,y são inteiros arbitrários e que
a\mid b \quad\text{e}\quad a\mid c.
Pela definição de divisibilidade, existem inteiros m e n tais que

Passo 3

b = a\,m, \qquad c = a\,n.
Aqui usamos que “ a\mid b” significa “existe m\in\mathbb{Z} tal que b = a\,m”, e de modo análogo para c.

Passo 4

Considere a combinação linear x\,b + y\,c. Substituindo b e c pelas expressões acima, temos
x\,b + y\,c = x\,(a\,m) + y\,(a\,n) = a\,(x\,m) + a\,(y\,n) = a\,\bigl(x\,m + y\,n\bigr).
Como x,m,y,n são inteiros, o somatório x\,m + y\,n também é inteiro. Logo existe k = x\,m + y\,n\in\mathbb{Z} tal que
x\,b + y\,c = a\,k.

Passo 5

Pelo que acabamos de mostrar, a\mid(x\,b + y\,c). Como a,b,c,x,y foram escolhas arbitrárias em \mathbb{Z}, concluímos que
\forall a,b,c,x,y\in\mathbb{Z},\quad \bigl(a\mid b\wedge a\mid c\bigr)\implies a\mid(x\,b+y\,c).

Resposta

\forall a,b,c,x,y\in\mathbb{Z}\,\bigl(a\mid b\wedge a\mid c\implies a\mid(xb+yc)\bigr), provado diretamente pela definição de divisibilidade.

Exercícios relacionados