Enuncie precisamente cada proposição abaixo, incluindo quantificadores, domínio das variáveis e dê uma prova direta (completa, com todos os passos importantes necessários) para:
se
divide
e
divide
então
divide
, quaisquer que sejam
e
inteiros.
se
Passo 1
Enunciado preciso: seja
Aqui o domínio de todas as variáveis é
. Para provar
faremos prova direta usando a definição de “
”.
Passo 2
Vamos começar a prova direta. Suponha que
são inteiros arbitrários e que
Pela definição de divisibilidade, existem inteiros
e
tais que
Passo 3
Aqui usamos que “
” significa “existe
tal que
”, e de modo análogo para
.
Passo 4
Considere a combinação linear
. Substituindo
e
pelas expressões acima, temos
Como
são inteiros, o somatório
também é inteiro. Logo existe
tal que
Passo 5
Pelo que acabamos de mostrar,
. Como
foram escolhas arbitrárias em
, concluímos que