Enuncie o Princípio da Boa Ordenação considerando um conjunto limitado inferiormente e limitado superiormente.
Passo 1
O enunciado pede para escrever o Princípio da Boa Ordenação aplicado a um conjunto que é limitado inferiormente e limitado superiormente. O conteúdo aqui é a existência de extremos em conjuntos bem ordenados (ou discretos) quando há limites inferiores e superiores.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que significa “limitado inferiormente” e “limitado superiormente”. Seja
.
– Dizemos que é limitado inferiormente se existe
tal que
– Dizemos que
– Dizemos que
é limitado superiormente se existe
tal que
Passo 3
O Princípio da Boa Ordenação, na versão para inteiros, afirma que qualquer subconjunto não-vazio de
que seja limitado inferiormente possui um menor elemento (mínimo). De modo análogo, qualquer subconjunto não-vazio de
que seja limitado superiormente possui um maior elemento (máximo).
Resposta
Seja
não-vazio e tal que existam
com
Então, pelo Princípio da Boa Ordenação, existem elementos
tais que
isto é,