Enuncie o Princípio da Boa Ordenação considerando um conjunto limitado inferiormente e limitado superiormente.

Passo 1

O enunciado pede para escrever o Princípio da Boa Ordenação aplicado a um conjunto que é limitado inferiormente e limitado superiormente. O conteúdo aqui é a existência de extremos em conjuntos bem ordenados (ou discretos) quando há limites inferiores e superiores.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que significa “limitado inferiormente” e “limitado superiormente”. Seja AsubseteqZ.
– Dizemos que A é limitado inferiormente se existe minZ tal que
m <= x para todo xin A
– Dizemos que A é limitado superiormente se existe MinZ tal que
x <= M para todo xin A

Passo 3

O Princípio da Boa Ordenação, na versão para inteiros, afirma que qualquer subconjunto não-vazio de Z que seja limitado inferiormente possui um menor elemento (mínimo). De modo análogo, qualquer subconjunto não-vazio de Z que seja limitado superiormente possui um maior elemento (máximo).

Resposta

Seja AsubseteqZ não-vazio e tal que existam m,MinZ com
m <= x <= M para todo xin A
Então, pelo Princípio da Boa Ordenação, existem elementos a,bin A tais que
a = min A e b = max A,
isto é,
a <= x <= b para todo xin A

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