Mostre que:
Se a, b in R, então |ab|=|a||b|.

Passo 1

Resumindo, queremos provar que para a,binR com bneq0 vale
|ab| = |a||b|
O conteúdo que vamos usar é a propriedade multiplicativa do valor absoluto: para quaisquer x,yinR vale
|xy| = |x|,|y|

Passo 2

Primeiro, mostramos que
l|tfrac1br| = 1|b|
Como bneq0, temos bcdottfrac1b = 1. Aplicando valor absoluto e a propriedade multiplicativa,
|b|,l|tfrac1br| = l|bcdottfrac1br| = |1| = 1,
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l|tfrac1br| = 1|b|

Passo 3

Agora aplicamos a propriedade multiplicativa ao produto acdottfrac1b:
|ab| = l|acdottfrac1br| = |a|;l|tfrac1br|
Substituindo o resultado do passo anterior,
|ab| = |a|;1|b| = |a||b|

Resposta

|ab| = |a||b|

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