Mostre que, usando o princípio da indução:
Se
e
definamos
onde
se
. Prove, por indução sobre
, sendo
inteiros, que
Se
Passo 1
O enunciado define para inteiros
com
o número
e pede para provar, por indução em
(com
), que vale a identidade de Pascal
Vamos usar o princípio da indução matemática sobre
, entendendo que
é fixo e satisfaz
.
Passo 2
Base da indução:
.
Calculamos cada termo:
Calculamos cada termo:
logo
Por outro lado,
Portanto a igualdade
é verdadeira, estabelecendo a base.
Passo 3
Passo indutivo: suponha que para algum
valha
Queremos mostrar
Passo 4
Usando a definição em fatoriais, escrevemos
Somando-os com denominador comum
, temos
Escrevendo o segundo termo sobre
e fatorando, obtemos
Como
e
, segue
que é exatamente o que queríamos provar.
Resposta
A identidade
vale para todo
por indução em
.