Mostre que:
Se
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para todo número real
e todo inteiro natural
, vale
O conteúdo que vamos usar é o princípio da indução matemática e a propriedade multiplicativa do valor absoluto:
Passo 2
Base da indução (
n=1 ).
Paran=1 temos
Para
logo a propriedade vale para
n=1 .
Passo 3
Hipótese de indução.
Suponha que para algumkinN já seja verdade que
Suponha que para algum
Passo 4
Passo indutivo (
k to k+1 ).
Queremos mostrar que|a^k+1| = |a|^k+1 .
Usamos a propriedade do valor absoluto em produto:
Queremos mostrar que
Usamos a propriedade do valor absoluto em produto:
Pela hipótese de indução
l|a^kr| = |a|^k , então
Passo 5
Pelo princípio da indução, a propriedade vale para todo
ninN . Portanto,
para todo
ainR e todo
n natural.
Resposta
Prova concluída:
l|a^nr| = |a|^n para todo
ainR e
ninN .