Mostre que:
Se a in R, então |a^n|=|a|^n.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para todo número real a e todo inteiro natural n, vale
|a^n| = l|ar|^n
O conteúdo que vamos usar é o princípio da indução matemática e a propriedade multiplicativa do valor absoluto:
l|xyr| = |x|,|y|

Passo 2

Base da indução ( n=1).
Para n=1 temos
|a^1| = |a| = |a|^1,
logo a propriedade vale para n=1.

Passo 3

Hipótese de indução.
Suponha que para algum kinN já seja verdade que
|a^k| = |a|^k

Passo 4

Passo indutivo ( k to k+1).
Queremos mostrar que |a^k+1| = |a|^k+1.
Usamos a propriedade do valor absoluto em produto:
|a^k+1| = l|a^k cdot ar| = l|a^kr|,|a|
Pela hipótese de indução l|a^kr| = |a|^k, então
|a^k+1| = |a|^k,|a| = |a|^k+1

Passo 5

Pelo princípio da indução, a propriedade vale para todo ninN. Portanto,
|a^n| = |a|^n
para todo ainR e todo n natural.

Resposta

Prova concluída: l|a^nr| = |a|^n para todo ainR e ninN.

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