Enuncie a Questão 5 para o caso de integrais com integrandos descontínuos e estude se a integral integral0^pi sin xraizx d x converge ou diverge.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral0^pi sin xraizx , dx. Esse exercício está relacionado ao estudo de integrais impróprias, especificamente aquelas com integrandos descontínuos. Para resolver, vamos precisar entender quando uma integral converge (tem um valor finito) ou diverge (não tem valor finito).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde o integrando sin xraizx pode ser descontínuo no intervalo de integração [0, pi]. Observamos que o denominador raizx se aproxima de zero quando x se aproxima de 0, o que pode causar uma descontinuidade ou um comportamento problemático na integral.

Passo 3

Para analisar a convergência, vamos examinar o comportamento da função perto do ponto problemático, que aqui é x = 0. Quando x está próximo de 0, sin x é aproximadamente igual a x (já que sin x approx x para $x $ pequeno). Então, a função x se comporta como sin xraizx.

Passo 4

Agora, vamos comparar nossa integral com uma integral mais simples que conhecemos a convergência ou divergência. Sabemos que integral0^pi raizx , dx é uma integral convergente, pois a função raizx não causa problemas de divergência no intervalo considerado.

Passo 5

Como sin xraizx se comporta como raizx perto de x = 0 e sabemos que integral0^pi raizx , dx converge, podemos concluir, pelo Teste de Comparação, que a integral original integral0^pi sin xraizx , dx também converge.

Resposta

A integral integral0^pi sin xraizx , dx converge.

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