Enuncie a Questão 5 para o caso de integrais com integrandos descontínuos e estude se a integral
converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício está relacionado ao estudo de integrais impróprias, especificamente aquelas com integrandos descontínuos. Para resolver, vamos precisar entender quando uma integral converge (tem um valor finito) ou diverge (não tem valor finito).
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde o integrando
pode ser descontínuo no intervalo de integração
. Observamos que o denominador
se aproxima de zero quando
se aproxima de 0, o que pode causar uma descontinuidade ou um comportamento problemático na integral.
Passo 3
Para analisar a convergência, vamos examinar o comportamento da função perto do ponto problemático, que aqui é
. Quando
está próximo de 0,
é aproximadamente igual a
(já que
para $x $ pequeno). Então, a função
se comporta como
.
Passo 4
Agora, vamos comparar nossa integral com uma integral mais simples que conhecemos a convergência ou divergência. Sabemos que
é uma integral convergente, pois a função
não causa problemas de divergência no intervalo considerado.
Passo 5
Como
se comporta como
perto de
e sabemos que
converge, podemos concluir, pelo Teste de Comparação, que a integral original
também converge.
Resposta
A integral
converge.