Enuncie o seguinte:
(a) O Teste para Divergência.
(b) O Teste da Integral.
© O Teste da Comparação.
(d) O Teste da Comparação no Limite.
(e) O Teste da Série Alternada.
(f) O Teste da Razão.
(g) O Teste da Raiz.

Passo 1

O enunciado pede para enunciar sete testes de convergência ou divergência de séries numéricas: divergência, integral, comparação, comparação no limite, série alternada, razão e raiz.

Passo 2

Vamos apresentar cada teste indicando as hipóteses, a conclusão e as fórmulas principais em linguagem matemática precisa.

Passo 3

Não é necessário calcular nada; basta formular claramente cada critério de teste.

Resposta

(a) Teste para Divergência
Se sum an converge, então limntoinftyan=0.
Logo, se
limntoinftyanneq0ou não existir,ã
então sum an diverge.
(b) Teste da Integral
Se f:[1,infty)to[0,infty) é contínua, decrescente e an=f(n), então as duas séries
sumn=1^inftyaneintegral1^inftyf(x),dx
convergem ou divergem juntas.
© Teste da Comparação
Dadas duas séries com termos não-negativos 0<= an<= bn:
  • Se sum bn converge, então sum an também converge.
  • Se sum an diverge, então sum bn também diverge.
(d) Teste da Comparação no Limite
Se an>0, bn>0 e
L=limntoinftyanbn
existe, então:
- Se 0, as séries sum an e sum bn confluem (convergem ou divergem juntas).
- Se L=0 e sum bn converge, então sum an converge.
- Se L=infty e sum bn diverge, então sum an diverge.
(e) Teste da Série Alternada (Leibniz)
Se an>=0, an+1<= an para todo n e limntoinftyan=0, então a série alternada
sumn=1^infty(-1)^nan
converge.
(f) Teste da Razão
Se an>0 e
L=limntoinftyan+1an,
então:
- Se L<1, sum an converge.
- Se L>1, sum an diverge.
- Se L=1, o teste é inconclusivo.
(g) Teste da Raiz
Se an>=0 e
L=limsupntoinftyraiz[n]an,
então:
- Se L<1, sum an converge.
- Se L>1, sum an diverge.
- Se L=1, o teste é inconclusivo.

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