Questão 5. ( 10 pontos) Encontre uma função da forma V(x, y)= ham mi toniana e determine a estabilidade do equilibrio ( 0,0 ) da seguinte EDO. Justifique sua resposta.
x^{\prime}=x^{3}-4 x y^{2}, \quad y^{\prime}=2 y^{3}

Passo 1

O enunciado dá o sistema
x' = x^{3}-4xy^{2},\qquad y' = 2y^{3},
e pede duas coisas:
  • Encontrar uma função do tipo “hamiltoniana” (isto é, investigar se existe uma função H(x,y) tal que o sistema seja gerado por x'=\partial H/\partial y,\; y'=-\partial H/\partial x) e, se existir, apresentar essa função.
  • Determinar a estabilidade do equilíbrio (0,0) e justificar.
Informações relevantes dadas:
  • As expressões das componentes do campo de vetores são f(x,y)=x^{3}-4xy^{2} e g(x,y)=2y^{3}.
  • O ponto (0,0) é um ponto crítico (porque f(0,0)=g(0,0)=0).
    A partir daqui vamos primeiro testar se o sistema pode ser hamiltoniano e depois estudar a estabilidade de (0,0).

Passo 2

Condição necessária e simples para ser Hamiltoniano (explicação didática).
  • Se existe uma função H de classe C^{2} tal que
x'=\frac{\partial H}{\partial y}=f(x,y),\qquad y'=-\frac{\partial H}{\partial x}=g(x,y),
então ao derivar mistas obtemos a identidade de Schwarz: \dfrac{\partial}{\partial x}\!\big(\partial H/\partial y\big)=\dfrac{\partial}{\partial y}\!\big(\partial H/\partial x\big). Substituindo f e g isso dá
\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial y}=0.
  • Ou seja: uma condição prática e necessária é que a divergência do campo (f,g) seja zero:
\operatorname{div}(f,g)=f_x+g_y=0.
Se a divergência não for identicamente zero numa vizinhança, não existe H que gere o sistema.

Passo 3

Aplicando a condição ao sistema dado (contando passo a passo).
  • Calcular as derivadas parciais:
f_x=\frac{\partial}{\partial x}(x^{3}-4xy^{2})=3x^{2}-4y^{2}, \qquad g_y=\frac{\partial}{\partial y}(2y^{3})=6y^{2}.
  • Somando:
f_x+g_y=(3x^{2}-4y^{2})+(6y^{2})=3x^{2}+2y^{2}.
Esse resultado é uma função que, salvo no ponto (0,0), é estritamente positiva (quando (x,y)\neq(0,0) temos 3x^{2}+2y^{2}>0). Portanto a divergência não é zero numa vizinhança de (0,0).
Conclusão imediata: não existe uma função H de classe C^{2} definida numa vizinhança de (0,0) que torne o sistema hamiltoniano, porque a condição necessária f_x+g_y=0 falha. Em linguagem direta: o sistema NÃO é Hamiltoniano.

Passo 4

Análise da estabilidade — ideia e estratégia.
  • A linearização em (0,0) não ajuda porque o jacobiano em (0,0) é a matriz nula (todas as derivadas parciais valem zero no ponto), logo o teste linear é inconclusivo.
  • Uma maneira prática é estudar trajetórias especiais (subespacos invariantes) como os eixos e usar soluções explícitas nessas retas para ver se pequenas perturbações saem de um entorno arbitrariamente pequeno de (0,0). Se houver uma perturbação arbitrariamente pequena que faz a solução sair do entorno, o equilíbrio não é estável (Lyapunov).

Passo 5

Estudo das soluções restritas aos eixos (passo-a-passo e resolução das EDOs separáveis).
  • Eixo y=0. Se y(0)=0 então y(t)\equiv 0 porque y'=2y^{3} e y\equiv0 é solução. No eixo y=0 o sistema reduz a
x' = x^{3},\quad y\equiv 0.
Essa é uma EDO separável; resolvemos dx/dt = x^{3} integrando:
\frac{dx}{x^{3}} = dt \quad\Longrightarrow\quad \int \! x^{-3} dx = \int \! dt
-\frac{1}{2x^{2}} = t + C.
Tomando condição inicial x(0)=x_{0} (com x_{0}\neq 0 pequeno), obtemos
-\frac{1}{2x(t)^{2}} = t -\frac{1}{2x_{0}^{2}},
ou
x(t) = \frac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{x_{0}^{2}} - 2t}}.
Essa expressão mostra que existe um tempo finito t^{*}=\dfrac{1}{2x_{0}^{2}}>0 tal que o denominador zera e x(t) explode para +\infty (ou para -\infty dependendo do sinal de x_{0}). Em particular, para qualquer x_{0}\neq 0 arbitrariamente pequeno, a solução sai do pequeno entorno de (0,0) em tempo finito. Assim (0,0) não é estável ao longo do eixo y=0.
  • Eixo x=0. Se x(0)=0 então x(t)\equiv 0. No eixo x=0 o sistema reduz a
x\equiv 0,\qquad y' = 2y^{3}.
Novamente é separável:
\frac{dy}{y^{3}} = 2\,dt \quad\Longrightarrow\quad -\frac{1}{2y^{2}} = 2t + C.
Com y(0)=y_{0}\neq 0 pequeno, obtém-se
y(t)=\frac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{y_{0}^{2}} -4t}}.
Há um tempo finito t^{**}=\dfrac{1}{4y_{0}^{2}}>0 em que o denominador zera e y(t) explode. Novamente, qualquer perturbação inicial pequena sobre o eixo x=0 faz a solução sair do entorno em tempo finito.

Passo 6

Conclusão formal sobre instabilidade (argumento de contraposição à definição de estabilidade).
  • Definição de estabilidade de Lyapunov (lembrando): (0,0) é estável se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que toda solução com \|(x(0),y(0))\|<\delta satisfaz \|(x(t),y(t))\|<\varepsilon para todo t\ge 0.
  • Escolha qualquer \varepsilon>0 fixo. Pegue um ponto inicial sobre o eixo y=0 com 0<|x_{0}|<\min\{\delta,\sqrt{1/(2\varepsilon^{2})}\} (é sempre possível escolher x_{0} pequeno). A solução no eixo y=0 conforme calculado torna-se arbitrariamente grande em tempo finito t^{*}=1/(2x_{0}^{2}), portanto excede \varepsilon antes de qualquer tempo finito dado. Logo não existe \delta que garanta permanência dentro de \varepsilon para todo t\ge0. Assim (0,0) NÃO é estável.
  • Portanto o equilíbrio (0,0) é instável. (Nem estável, nem assintoticamente estável.)

Resposta

Não existe função Hamiltoniana H que gere esse sistema (o sistema não é Hamiltoniano).
O equilíbrio (0,0) é instável.

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