Questão 5. ( 10 pontos) Encontre uma função da forma
ham mi toniana e determine a estabilidade do equilibrio ( 0,0 ) da seguinte EDO. Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá o sistema
e pede duas coisas:
- Encontrar uma função do tipo “hamiltoniana” (isto é, investigar se existe uma função
tal que o sistema seja gerado por ) e, se existir, apresentar essa função. - Determinar a estabilidade do equilíbrio
e justificar.
Informações relevantes dadas:
- As expressões das componentes do campo de vetores são
e . - O ponto
é um ponto crítico (porque ).
A partir daqui vamos primeiro testar se o sistema pode ser hamiltoniano e depois estudar a estabilidade de.
Passo 2
Condição necessária e simples para ser Hamiltoniano (explicação didática).
- Se existe uma função
de classe tal que
então ao derivar mistas obtemos a identidade de Schwarz:
. Substituindo
e
isso dá
- Ou seja: uma condição prática e necessária é que a divergência do campo
seja zero:
Se a divergência não for identicamente zero numa vizinhança, não existe
que gere o sistema.
Passo 3
Aplicando a condição ao sistema dado (contando passo a passo).
- Calcular as derivadas parciais:
- Somando:
Esse resultado é uma função que, salvo no ponto
, é estritamente positiva (quando
temos
). Portanto a divergência não é zero numa vizinhança de
.
Conclusão imediata: não existe uma função
de classe
definida numa vizinhança de
que torne o sistema hamiltoniano, porque a condição necessária
falha. Em linguagem direta: o sistema NÃO é Hamiltoniano.
Passo 4
Análise da estabilidade — ideia e estratégia.
- A linearização em
não ajuda porque o jacobiano em é a matriz nula (todas as derivadas parciais valem zero no ponto), logo o teste linear é inconclusivo. - Uma maneira prática é estudar trajetórias especiais (subespacos invariantes) como os eixos e usar soluções explícitas nessas retas para ver se pequenas perturbações saem de um entorno arbitrariamente pequeno de
. Se houver uma perturbação arbitrariamente pequena que faz a solução sair do entorno, o equilíbrio não é estável (Lyapunov).
Passo 5
Estudo das soluções restritas aos eixos (passo-a-passo e resolução das EDOs separáveis).
- Eixo
. Se então porque e é solução. No eixo o sistema reduz a
Essa é uma EDO separável; resolvemos
integrando:
Tomando condição inicial
(com
pequeno), obtemos
ou
Essa expressão mostra que existe um tempo finito
tal que o denominador zera e
explode para
(ou para
dependendo do sinal de
). Em particular, para qualquer
arbitrariamente pequeno, a solução sai do pequeno entorno de
em tempo finito. Assim
não é estável ao longo do eixo
.
- Eixo
. Se então . No eixo o sistema reduz a
Novamente é separável:
Com
pequeno, obtém-se
Há um tempo finito
em que o denominador zera e
explode. Novamente, qualquer perturbação inicial pequena sobre o eixo
faz a solução sair do entorno em tempo finito.
Passo 6
Conclusão formal sobre instabilidade (argumento de contraposição à definição de estabilidade).
- Definição de estabilidade de Lyapunov (lembrando):
é estável se, para todo , existe tal que toda solução com satisfaz para todo . - Escolha qualquer
fixo. Pegue um ponto inicial sobre o eixo com (é sempre possível escolher pequeno). A solução no eixo conforme calculado torna-se arbitrariamente grande em tempo finito , portanto excede antes de qualquer tempo finito dado. Logo não existe que garanta permanência dentro de para todo . Assim NÃO é estável. - Portanto o equilíbrio
é instável. (Nem estável, nem assintoticamente estável.)
Resposta
Não existe função Hamiltoniana
que gere esse sistema (o sistema não é Hamiltoniano).
O equilíbrio é instável.
O equilíbrio