Enuncie o Teorema de Clairaut sobre a igualdade das derivadas parciais mistas. Explique por que a hipótese de continuidade das derivadas de segunda ordem é importante. Em seguida, verifique que u_{x y}=u_{y x} para a seguinte função
u=\cos \left(x^{2} y\right)

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • Enunciar o Teorema de Clairaut (igualdade das derivadas parciais mistas).
  • Explicar por que a hipótese de continuidade das derivadas de segunda ordem é importante.
  • Verificar que \,u_{x y}=u_{y x}\, para a função
u=\cos\!\left(x^{2}y\right).
Informações dadas: a função u(x,y) está explicitada acima; não há pontos singulares aparentes na expressão (é uma composição de funções elementares).

Passo 2

Enunciado (forma clara e direta, com notação):
Seja u=u(x,y) definida em um aberto que contém o ponto (a,b). Suponha que existam as derivadas parciais de primeira ordem u_x e u_y e as derivadas parciais segundas u_{x x},\,u_{x y},\,u_{y x},\,u_{y y} em uma vizinhança de (a,b). Se as derivadas mistas u_{x y} e u_{y x} são contínuas em (a,b), então vale
u_{x y}(a,b)=u_{y x}(a,b).
Explicando a notação: \,u_x=\dfrac{\partial u}{\partial x}\, é a derivada parcial de u em relação a x (mantendo y fixo) e \,u_{xy}=\dfrac{\partial}{\partial y}\!\left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\right)\, é a derivada parcial em y da derivada parcial em x.

Passo 3

Por que a hipótese de continuidade é importante (intuição e ideia do porquê):
  • A igualdade das derivadas mistas é, em essência, uma afirmação sobre limites. Para mostrar u_{xy}(a,b)=u_{yx}(a,b) costuma-se comparar duas formas de tomar um limite de quocientes de diferenças (aproximando a variação de u em um pequeno retângulo centrado em (a,b)).
  • Define-se a função das diferenças
\varphi(h,k)=\frac{u(a+h,b+k)-u(a+h,b)-u(a,b+k)+u(a,b)}{hk},
para h\neq0,\\ k\neq0. Aplicando o teorema de valor médio primeiro em um dos lados e depois no outro, obtém-se que, quando h\to0 com k fixo, \varphi(h,k)\to u_{x y}(a,b+k) e, quando k\to0 com h fixo, \varphi(h,k)\to u_{y x}(a+h,b). Para concluir que ambos os limites tendem ao mesmo valor quando (h,k)\to(0,0) é preciso poder trocar a ordem dos limites e garantir que u_{xy} e u_{yx} se aproximem do mesmo valor — isso é garantido pela continuidade de u_{xy} (ou de u_{yx}) no ponto: a continuidade permite que o valor limite não dependa da trajetória de aproximação no plano (h,k).
  • Sem continuidade, os limites podem depender da forma de aproximação e pode ocorrer que u_{xy} e u_{yx} existam mas sejam diferentes em um ponto. Existem contraexemplos clássicos (funções construídas por partes) cujas segundas derivadas mistas existem em um ponto mas não são contínuas ali, levando a u_{xy}\neq u_{yx}. Portanto a hipótese de continuidade é a condição técnica que evita essa dependência de trajetória e permite a troca segura das operações de derivar em x e em y.

Passo 4

Preparação para calcular: vamos aplicar regra da cadeia e regra do produto com calma. Para a função
u(x,y)=\cos\!\bigl(x^{2}y\bigr)
é útil definir a função interna
s(x,y)=x^{2}y.
A regra da cadeia diz: se u=\cos(s), então
u_x = -\sin(s)\,s_x \qquad\text{e}\qquad u_y = -\sin(s)\,s_y,
porque \dfrac{d}{ds}\cos s = -\sin s. Agora calculamos s_x e s_y:
s_x=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}y\bigr)=2x y, \qquad s_y=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y\bigr)=x^{2}.

Passo 5

Cálculo de u_x e u_y passo a passo:
u_x = -\sin\!\bigl(x^{2}y\bigr)\cdot(2x y).
Para ficar mais claro, pode escrever-se
u_x = -2x y\,\sin\!\bigl(x^{2}y\bigr).
Analogamente,
u_y = -\sin\!\bigl(x^{2}y\bigr)\cdot x^{2},
ou seja
u_y = -x^{2}\sin\!\bigl(x^{2}y\bigr).

Passo 6

Cálculo de u_{x y} (derivar u_x em relação a y):
Começamos de
u_x = -2x y\,\sin\!\bigl(x^{2}y\bigr).
Isto é um produto de A(y)= -2x y e B(y)=\sin\!\bigl(x^{2}y\bigr) (lembrando que x é tratado como constante ao derivar em y). Pela regra do produto e cadeia:
u_{x y} = A'(y)B(y)+A(y)B'(y).
Calculamos as partes:
A'(y)=\frac{\partial}{\partial y}(-2x y)=-2x,
B'(y)=\frac{\partial}{\partial y}\sin\!\bigl(x^{2}y\bigr)=\cos\!\bigl(x^{2}y\bigr)\cdot (x^{2}) \quad\text{(regra da cadeia).}
Substituindo:
u_{x y} = (-2x)\sin\!\bigl(x^{2}y\bigr) + \bigl(-2x y\bigr)\cdot\bigl(\cos\!\bigl(x^{2}y\bigr)\,x^{2}\bigr).
Simplificando:
u_{x y} = -2x\sin\!\bigl(x^{2}y\bigr) -2x^{3}y\cos\!\bigl(x^{2}y\bigr).

Passo 7

Cálculo de u_{y x} (derivar u_y em relação a x):
Começamos de
u_y = -x^{2}\sin\!\bigl(x^{2}y\bigr).
Aqui também é um produto de C(x)=-x^{2} e D(x)=\sin\!\bigl(x^{2}y\bigr) (agora y é tratada como constante). Pela regra do produto:
u_{y x} = C'(x)D(x)+C(x)D'(x).
Calculamos as partes:
C'(x)=\frac{\partial}{\partial x}(-x^{2})=-2x,
D'(x)=\frac{\partial}{\partial x}\sin\!\bigl(x^{2}y\bigr)=\cos\!\bigl(x^{2}y\bigr)\cdot(2x y)\quad\text{(regra da cadeia).}
Substituindo:
u_{y x} = (-2x)\sin\!\bigl(x^{2}y\bigr) + \bigl(-x^{2}\bigr)\cdot\bigl(\cos\!\bigl(x^{2}y\bigr)\,2x y\bigr).
Simplificando:
u_{y x} = -2x\sin\!\bigl(x^{2}y\bigr) -2x^{3}y\cos\!\bigl(x^{2}y\bigr).

Passo 8

Comparação e conclusão:
As expressões encontradas para u_{x y} e u_{y x} são idênticas:
u_{x y} = -2x\sin\!\bigl(x^{2}y\bigr) -2x^{3}y\cos\!\bigl(x^{2}y\bigr)
e
u_{y x} = -2x\sin\!\bigl(x^{2}y\bigr) -2x^{3}y\cos\!\bigl(x^{2}y\bigr).
Portanto \,u_{x y}=u_{y x}\, para todos (x,y). Além disso, como as segundas derivadas obtidas são combinações de funções polinomiais e das funções \sin e \cos, elas são contínuas em todo o plano; assim a hipótese do Teorema de Clairaut é satisfeita aqui e a igualdade é esperada globalmente.

Resposta

O Teorema de Clairaut: Se u e suas derivadas parciais de segunda ordem existem numa vizinhança de (a,b) e u_{xy} e u_{yx} são contínuas em (a,b), então u_{xy}(a,b)=u_{yx}(a,b).
A importância da continuidade: a continuidade das derivadas mistas garante que o limite do quociente de diferenças numa pequena vizinhança não dependa da ordem de aproximação (evita dependência de trajetória), permitindo trocar a ordem das diferenciações; sem essa continuidade os limites podem divergir e u_{xy} e u_{yx} podem ser diferentes.
Para u=\cos\!\bigl(x^{2}y\bigr):
u_{x y}=u_{y x}=-2x\sin\!\bigl(x^{2}y\bigr)-2x^{3}y\cos\!\bigl(x^{2}y\bigr).

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