Enuncie o Teorema de Clairaut sobre a igualdade das derivadas parciais mistas. Explique por que a hipótese de continuidade das derivadas de segunda ordem é importante. Em seguida, verifique que
para a seguinte função
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- Enunciar o Teorema de Clairaut (igualdade das derivadas parciais mistas).
- Explicar por que a hipótese de continuidade das derivadas de segunda ordem é importante.
- Verificar que
para a função
Informações dadas: a função
está explicitada acima; não há pontos singulares aparentes na expressão (é uma composição de funções elementares).
Passo 2
Enunciado (forma clara e direta, com notação):
Seja definida em um aberto que contém o ponto
. Suponha que existam as derivadas parciais de primeira ordem
e
e as derivadas parciais segundas
em uma vizinhança de
. Se as derivadas mistas
e
são contínuas em
, então vale
Seja
Explicando a notação:
é a derivada parcial de
em relação a
(mantendo
fixo) e
é a derivada parcial em
da derivada parcial em
.
Passo 3
Por que a hipótese de continuidade é importante (intuição e ideia do porquê):
- A igualdade das derivadas mistas é, em essência, uma afirmação sobre limites. Para mostrar
costuma-se comparar duas formas de tomar um limite de quocientes de diferenças (aproximando a variação de em um pequeno retângulo centrado em ). - Define-se a função das diferenças
para
. Aplicando o teorema de valor médio primeiro em um dos lados e depois no outro, obtém-se que, quando
com
fixo,
e, quando
com
fixo,
. Para concluir que ambos os limites tendem ao mesmo valor quando
é preciso poder trocar a ordem dos limites e garantir que
e
se aproximem do mesmo valor — isso é garantido pela continuidade de
(ou de
) no ponto: a continuidade permite que o valor limite não dependa da trajetória de aproximação no plano
.
- Sem continuidade, os limites podem depender da forma de aproximação e pode ocorrer que
e existam mas sejam diferentes em um ponto. Existem contraexemplos clássicos (funções construídas por partes) cujas segundas derivadas mistas existem em um ponto mas não são contínuas ali, levando a . Portanto a hipótese de continuidade é a condição técnica que evita essa dependência de trajetória e permite a troca segura das operações de derivar em e em .
Passo 4
Preparação para calcular: vamos aplicar regra da cadeia e regra do produto com calma. Para a função
é útil definir a função interna
A regra da cadeia diz: se
, então
porque
. Agora calculamos
e
:
Passo 5
Cálculo de
e
passo a passo:
Para ficar mais claro, pode escrever-se
Analogamente,
ou seja
Passo 6
Cálculo de
(derivar
em relação a
):
Começamos de
Começamos de
Isto é um produto de
e
(lembrando que
é tratado como constante ao derivar em
). Pela regra do produto e cadeia:
Calculamos as partes:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 7
Cálculo de
(derivar
em relação a
):
Começamos de
Começamos de
Aqui também é um produto de
e
(agora
é tratada como constante). Pela regra do produto:
Calculamos as partes:
Substituindo:
Simplificando:
Passo 8
Comparação e conclusão:
As expressões encontradas para e
são idênticas:
As expressões encontradas para
e
Portanto
para todos
. Além disso, como as segundas derivadas obtidas são combinações de funções polinomiais e das funções
e
, elas são contínuas em todo o plano; assim a hipótese do Teorema de Clairaut é satisfeita aqui e a igualdade é esperada globalmente.
Resposta
O Teorema de Clairaut: Se
e suas derivadas parciais de segunda ordem existem numa vizinhança de
e
e
são contínuas em
, então
.
A importância da continuidade: a continuidade das derivadas mistas garante que o limite do quociente de diferenças numa pequena vizinhança não dependa da ordem de aproximação (evita dependência de trajetória), permitindo trocar a ordem das diferenciações; sem essa continuidade os limites podem divergir e
e
podem ser diferentes.
Para
: