Um sistema massa-mola acoplado é descrito pelo sistema de equações
\left\{\begin{aligned} x_{1}^{\prime \prime}(t) & =-2 x_{1}(t)+x_{2}(t) \\\ x_{2}^{\prime \prime}(t) & =x_{1}(t)-2 x_{2}(t) \\\ x_{1}(0) & =1, \quad x_{1}^{\prime}(0)=0, \quad x_{2}(0)=0, \quad x_{2}^{\prime}(0)=1 \end{aligned}\right.
(a) Mostre que u(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t) e v(t)=x_{1}(t)-x_{2}(t) satisfazem
u^{\prime \prime}(t)+u(t)=0, \quad v^{\prime \prime}(t)-3 v(t)=0
(b) Encontre x_{1}(t) e x_{2}(t) usando o resultado do item anterior.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema de equações e as condições iniciais:
\left\{\begin{aligned} x_{1}^{\prime \prime}(t) & =-2 x_{1}(t)+x_{2}(t)\\\ x_{2}^{\prime \prime}(t) & =x_{1}(t)-2 x_{2}(t)\\\ x_{1}(0) & =1,\quad x_{1}^{\prime}(0)=0,\quad x_{2}(0)=0,\quad x_{2}^{\prime}(0)=1 \end{aligned}\right.
O que o problema pede:
  • (a) Mostrar que, definindo u(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t) e v(t)=x_{1}(t)-x_{2}(t), as funções u e v satisfazem
u^{\prime \prime}(t)+u(t)=0,\qquad v^{\prime \prime}(t)-3v(t)=0.
  • (b) Usar o resultado do item (a) para encontrar explicitamente x_{1}(t) e x_{2}(t).
Informações relevantes dadas:
  • As expressões para x_{1}^{\prime\prime} e x_{2}^{\prime\prime}.
  • As condições iniciais de x_{1},x_{1}',x_{2},x_{2}' em t=0.

Passo 2

Vamos formar u e v e calcular suas segundas derivadas em termos de x_{1} e x_{2}.
Definições:
u(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t),\qquad v(t)=x_{1}(t)-x_{2}(t).
Derivando duas vezes:
u^{\prime\prime}(t)=x_{1}^{\prime\prime}(t)+x_{2}^{\prime\prime}(t), \qquad v^{\prime\prime}(t)=x_{1}^{\prime\prime}(t)-x_{2}^{\prime\prime}(t).

Passo 3

Substituímos as expressões dadas para x_{1}^{\prime\prime} e x_{2}^{\prime\prime}.
Para u^{\prime\prime}:
\begin{aligned} u^{\prime\prime}(t) &=(-2x_{1}(t)+x_{2}(t))+(x_{1}(t)-2x_{2}(t))\\\ &=(-2x_{1}+x_{2}+x_{1}-2x_{2})\\\ &=(-x_{1}-x_{2})\\\ &=-u(t). \end{aligned}
Logo
u^{\prime\prime}(t)+u(t)=0.
Para v^{\prime\prime}:
\begin{aligned} v^{\prime\prime}(t) &=(-2x_{1}(t)+x_{2}(t))-(x_{1}(t)-2x_{2}(t))\\\ &=(-2x_{1}+x_{2}-x_{1}+2x_{2})\\\ &=(-3x_{1}+3x_{2})\\\ &= -3(x_{1}-x_{2})\\\ &=-3v(t). \end{aligned}
Rearranjando,
v^{\prime\prime}(t)-3v(t)=0.
Isto prova o item (a).

Passo 4

Agora precisamos das condições iniciais para u e v, obtidas a partir das condicionantes de x_{1} e x_{2}.
Calculemos em t=0:
\begin{aligned} u(0)&=x_{1}(0)+x_{2}(0)=1+0=1,\\\ u'(0)&=x_{1}'(0)+x_{2}'(0)=0+1=1,\\\ v(0)&=x_{1}(0)-x_{2}(0)=1-0=1,\\\ v'(0)&=x_{1}'(0)-x_{2}'(0)=0-1=-1. \end{aligned}

Passo 5

Resolvemos as EDOs independentes.
Equação para u:
u^{\prime\prime}+u=0.
Equação característica \,r^{2}+1=0\Rightarrow r=\pm i. Solução geral:
u(t)=C_{1}\cos t + C_{2}\sin t.
Impondo u(0)=1 C_{1}=1. Impondo u'(0)=1 e sabendo u'(t)=-C_{1}\sin t + C_{2}\cos t C_{2}=1. Portanto
u(t)=\cos t+\sin t.
Equação para v:
v^{\prime\prime}-3v=0.
Equação característica \,r^{2}-3=0\Rightarrow r=\pm\sqrt{3}. Uma forma conveniente de escrita usa funções hiperbólicas:
v(t)=A\operatorname{cosh}(\sqrt{3}\,t)+B\operatorname{sinh}(\sqrt{3}\,t).
Impondo v(0)=1 A=1 (pois \operatorname{cosh} 0=1, \operatorname{sinh} 0=0). Para v'(t)=\sqrt{3}\,A\operatorname{sinh}(\sqrt{3}t)+\sqrt{3}\,B\operatorname{cosh}(\sqrt{3}t), temos v'(0)=\sqrt{3}\,B. Com v'(0)=-1 obtemos
\sqrt{3}\,B=-1\quad\Rightarrow\quad B=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}.
Logo
v(t)=\operatorname{cosh}(\sqrt{3}\,t)-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\operatorname{sinh}(\sqrt{3}\,t).
(Alternativamente poderia-se escrever v(t)=A e^{\sqrt{3}t}+B e^{-\sqrt{3}t} e obter os mesmos coeficientes.)

Passo 6

Voltamos a x_{1} e x_{2}. Da definição de u e v temos o sistema linear
\begin{aligned} u&=x_{1}+x_{2},\\\ v&=x_{1}-x_{2}. \end{aligned}
Somando e subtraindo:
x_{1}=\dfrac{u+v}{2},\qquad x_{2}=\dfrac{u-v}{2}.
Substituindo as soluções de u(t) e v(t):
\begin{aligned} x_{1}(t) &=\dfrac{1}{2}\Big(\cos t+\sin t+\operatorname{cosh}(\sqrt{3}\,t)-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\operatorname{sinh}(\sqrt{3}\,t)\Big),\\[6pt] x_{2}(t) &=\dfrac{1}{2}\Big(\cos t+\sin t-\operatorname{cosh}(\sqrt{3}\,t)+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\operatorname{sinh}(\sqrt{3}\,t)\Big). \end{aligned}]

Passo 7

Breve verificação rápida das condições iniciais (para ficar tranquilo): em t=0,
\begin{aligned} x_{1}(0)&=\tfrac{1}{2}(1+0+1-0)=1,\\\ x_{1}'(0)&=\tfrac{1}{2}(u'(0)+v'(0))=\tfrac{1}{2}(1-1)=0,\\\ x_{2}(0)&=\tfrac{1}{2}(1+0-1+0)=0,\\\ x_{2}'(0)&=\tfrac{1}{2}(u'(0)-v'(0))=\tfrac{1}{2}(1-(-1))=1, \end{aligned}
que coincidem com as condições iniciais dadas.

Resposta

x_{1}(t)=\dfrac{1}{2}\Big(\cos t+\sin t+\operatorname{cosh}(\sqrt{3}\,t)-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\operatorname{sinh}(\sqrt{3}\,t)\Big)\n
x_{2}(t)=\dfrac{1}{2}\Big(\cos t+\sin t-\operatorname{cosh}(\sqrt{3}\,t)+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\operatorname{sinh}(\sqrt{3}\,t)\Big)

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