Um sistema massa-mola acoplado é descrito pelo sistema de equações
(a) Mostre que
e
satisfazem
(b) Encontre
e
usando o resultado do item anterior.
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema de equações e as condições iniciais:
O que o problema pede:
- (a) Mostrar que, definindo
e , as funções e satisfazem
- (b) Usar o resultado do item (a) para encontrar explicitamente
e .
Informações relevantes dadas:
- As expressões para
e . - As condições iniciais de
em .
Passo 2
Vamos formar
e
e calcular suas segundas derivadas em termos de
e
.
Definições:
Derivando duas vezes:
Passo 3
Substituímos as expressões dadas para
e
.
Para
:
Logo
Para
:
Rearranjando,
Isto prova o item (a).
Passo 4
Agora precisamos das condições iniciais para
e
, obtidas a partir das condicionantes de
e
.
Calculemos em
:
Passo 5
Resolvemos as EDOs independentes.
Equação para
:
Equação característica
. Solução geral:
Impondo
dá
. Impondo
e sabendo
dá
. Portanto
Equação para
:
Equação característica
. Uma forma conveniente de escrita usa funções hiperbólicas:
Impondo
dá
(pois
,
). Para
, temos
. Com
obtemos
Logo
(Alternativamente poderia-se escrever
e obter os mesmos coeficientes.)
Passo 6
Voltamos a
e
. Da definição de
e
temos o sistema linear
Somando e subtraindo:
Substituindo as soluções de
e
:
Passo 7
Breve verificação rápida das condições iniciais (para ficar tranquilo): em
,
que coincidem com as condições iniciais dadas.