Enuncie o teorema relacionado a derivabilidade e continuidade. Qual a sua contrapositiva?

Passo 1

O enunciado pede o teorema que relaciona derivabilidade e continuidade de uma função num ponto e, em seguida, sua contrapositiva. O conteúdo é cálculo diferencial: precisamos lembrar a definição de derivada e a de limite (continuidade), e aplicar lógica para formular a contrapositiva.

Passo 2

Teorema (derivabilidade implica continuidade):
Seja f\colon I\to\mathbb{R} uma função definida num intervalo I e seja x_0 um ponto interior de I. Se f é diferenciável em x_0, isto é, se existe
f'(x_0) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\!,
então f é contínua em x_0, ou seja,
\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).

Passo 3

Contrapositiva do teorema:
Dado um enunciado da forma “se P então Q”, sua contrapositiva é “se não Q então não P”. Aplicando ao nosso caso:
“Se f não é contínua em x_0, então f não é diferenciável em x_0.”

Resposta

Teorema: Se f é diferenciável em x_0, então f é contínua em x_0.
Contrapositiva: Se f não é contínua em x_0, então f não é diferenciável em x_0.

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