Enuncie o teorema relacionado a derivabilidade e continuidade. Qual a sua contrapositiva?
Passo 1
O enunciado pede o teorema que relaciona derivabilidade e continuidade de uma função num ponto e, em seguida, sua contrapositiva. O conteúdo é cálculo diferencial: precisamos lembrar a definição de derivada e a de limite (continuidade), e aplicar lógica para formular a contrapositiva.
Passo 2
Teorema (derivabilidade implica continuidade):
Seja uma função definida num intervalo
e seja
um ponto interior de
. Se
é diferenciável em
, isto é, se existe
Seja
então
é contínua em
, ou seja,
Passo 3
Contrapositiva do teorema:
Dado um enunciado da forma “se então
”, sua contrapositiva é “se não
então não
”. Aplicando ao nosso caso:
Dado um enunciado da forma “se
“Se
não é contínua em
, então
não é diferenciável em
.”
Resposta
Teorema: Se
é diferenciável em
, então
é contínua em
.
Contrapositiva: Se não é contínua em
, então
não é diferenciável em
.
Contrapositiva: Se