Questão 6. Nos exercícios abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral dupla.
\int_{0}^{3} \int_{\sqrt{\frac{x}{3}}}^{1} \mathrm{e}^{y^{3}} d x d y

Passo 1

O enunciado pede para a integral dupla
\int_{0}^{3}\int_{\sqrt{\tfrac{x}{3}}}^{1}e^{y^{3}}\;dy\;dx
esboçar a região de integração, inverter a ordem de integração e calcular o valor. Vamos usar geometria das desigualdades no plano xy, troca de ordem de integração e uma substituição para avaliar a integral resultante.

Passo 2

Definimos a região D por
0 \le x \le 3, \qquad \sqrt{\tfrac{x}{3}} \le y \le 1.
A curva y = \sqrt{\tfrac{x}{3}} equivale a x=3y^{2}. Portanto D é o conjunto de pontos entre as curvas x=0, x=3y^{2} e as retas y=0 (inferior) e y=1 (superior).

Passo 3

Ao esboçar D, vemos que para cada y entre 0 e 1 o x varia de 0 até 3y^{2}. Logo, invertendo a ordem de integração, teremos
D=\{(x,y)\mid 0\le y\le1,\;0\le x\le3y^{2}\}.

Passo 4

A integral com ordem trocada fica
\int_{0}^{1}\int_{0}^{3y^{2}}e^{y^{3}}\;dx\;dy.
Integramos primeiro em x:
\int_{0}^{3y^{2}}e^{y^{3}}\;dx =e^{y^{3}}\bigl[x\bigr]_{0}^{3y^{2}} =3y^{2}\,e^{y^{3}}.

Passo 5

Agora calculamos
\int_{0}^{1}3y^{2}\,e^{y^{3}}\;dy.
Fazemos a substituição t=y^{3}, de modo que dt=3y^{2}\,dy. Quando y=0, t=0; quando y=1, t=1. Assim
\int_{0}^{1}3y^{2}\,e^{y^{3}}\,dy =\int_{0}^{1}e^{t}\,dt =\bigl[e^{t}\bigr]_{0}^{1} =e-1.

Resposta

O valor da integral dupla é e-1.

Exercícios relacionados