Questão 6. Nos exercícios abaixo, esboce a região de integração, inverta a ordem de integração e calcule a integral dupla.
Passo 1
O enunciado pede para a integral dupla
esboçar a região de integração, inverter a ordem de integração e calcular o valor. Vamos usar geometria das desigualdades no plano
, troca de ordem de integração e uma substituição para avaliar a integral resultante.
Passo 2
Definimos a região
por
A curva
equivale a
. Portanto
é o conjunto de pontos entre as curvas
,
e as retas
(inferior) e
(superior).
Passo 3
Ao esboçar
, vemos que para cada
entre
e
o
varia de
até
. Logo, invertendo a ordem de integração, teremos
Passo 4
A integral com ordem trocada fica
Integramos primeiro em
:
Passo 5
Agora calculamos
Fazemos a substituição
, de modo que
. Quando
,
; quando
,
. Assim
Resposta
O valor da integral dupla é
.