(a) Enuncie o Teorema de Stokes.
(b) Use o Teorema de Stokes para encontrar a integral \int_{C} \vec{f} \cdot d \vec{r}, sendo \vec{f}=-y^{2} \vec{i}+x \vec{j}+z^{2} \vec{k} e C é a curva interseção do plano y+z=2 com o cilindro x^{2}+y^{2}=1, sentido anti-horário. Resposta: \pi
Passo 1
O enunciado pede (a) o enunciado do Teorema de Stokes e (b) o cálculo de \displaystyle \int_{C}\vec f\cdot d\vec r
para \vec f = -y^{2}\,\vec i + x\,\vec j + z^{2}\,\vec k e C dada pela interseção do cilindro x^{2}+y^{2}=1 com o plano y+z=2, orientada anti-horário.
Conteúdo: cálculo de linha de campo vetorial via Teorema de Stokes, que converte linha em integral de superfície.
Passo 2
O Teorema de Stokes afirma que, para uma superfície S com bordo C e orientação compatível,
\oint_{C}\vec f\cdot d\vec r = \iint_{S}\bigl(\nabla\times \vec f\bigr)\cdot d\vec S,
onde d\vec S = \hat n\,dS é o elemento de área orientado, ou equivalentemente d\vec S = \vec r_u\times\vec r_v\,du\,dv na parametrização.
Passo 3
Calculamos o rotacional de \vec f:
\nabla\times \vec f = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k\\\ \partial_x & \partial_y & \partial_z\\\\ -y^2 & x & z^2 \end{vmatrix} = 0\,\vec i - 0\,\vec j +\bigl(1+2y\bigr)\,\vec k.
Logo \nabla\times\vec f = (0,0,1+2y).
Passo 4
Escolhemos S como a parte do plano y+z=2 sobre o disco x^2+y^2\le1.
Parametrização: