(a) Enuncie o Teorema de Stokes.
(b) Use o Teorema de Stokes para encontrar a integral \int_{C} \vec{f} \cdot d \vec{r}, sendo \vec{f}=-y^{2} \vec{i}+x \vec{j}+z^{2} \vec{k} e C é a curva interseção do plano y+z=2 com o cilindro x^{2}+y^{2}=1, sentido anti-horário. Resposta: \pi

Passo 1

O enunciado pede (a) o enunciado do Teorema de Stokes e (b) o cálculo de \displaystyle \int_{C}\vec f\cdot d\vec r
para \vec f = -y^{2}\,\vec i + x\,\vec j + z^{2}\,\vec k e C dada pela interseção do cilindro x^{2}+y^{2}=1 com o plano y+z=2, orientada anti-horário.
Conteúdo: cálculo de linha de campo vetorial via Teorema de Stokes, que converte linha em integral de superfície.

Passo 2

O Teorema de Stokes afirma que, para uma superfície S com bordo C e orientação compatível,
\oint_{C}\vec f\cdot d\vec r = \iint_{S}\bigl(\nabla\times \vec f\bigr)\cdot d\vec S,
onde d\vec S = \hat n\,dS é o elemento de área orientado, ou equivalentemente d\vec S = \vec r_u\times\vec r_v\,du\,dv na parametrização.

Passo 3

Calculamos o rotacional de \vec f:
\nabla\times \vec f = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k\\\ \partial_x & \partial_y & \partial_z\\\\ -y^2 & x & z^2 \end{vmatrix} = 0\,\vec i - 0\,\vec j +\bigl(1+2y\bigr)\,\vec k.
Logo \nabla\times\vec f = (0,0,1+2y).

Passo 4

Escolhemos S como a parte do plano y+z=2 sobre o disco x^2+y^2\le1.
Parametrização:
\vec r(x,y) = (\,x,\,y,\,2-y),\quad (x,y)\in D=\{x^2+y^2\le1\}.
Calculamos
\vec r_x = (1,0,0),\quad \vec r_y = (0,1,-1),
\vec r_x\times\vec r_y = \bigl|\! \begin{array}{ccc} \vec i & \vec j & \vec k\\\\ 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & -1 \end{array} \!\bigr| = (0,1,1).

Passo 5

No integrando de Stokes aparece
(\nabla\times\vec f)\cdot(\vec r_x\times\vec r_y) = (0,0,1+2y)\,\cdot\,(0,1,1) = 1+2y.
Logo
\oint_C\vec f\cdot d\vec r = \iint_{D}(1+2y)\,dA.

Passo 6

Usando coordenadas polares x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, 0\le r\le1, 0\le\theta\le2\pi:
\iint_{D}(1+2y)\,dA = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{1}\bigl(1+2r\sin\theta\bigr)\,r\,dr\,d\theta.
Integramos em r:
\int_{0}^{1}(r+2r^2\sin\theta)\,dr =\Bigl[\tfrac12r^2 + \tfrac23r^3\sin\theta\Bigr]_{0}^{1} =\tfrac12 + \tfrac23\sin\theta.
Agora em \theta:
\int_{0}^{2\pi}\Bigl(\tfrac12 + \tfrac23\sin\theta\Bigr)d\theta =\pi + \tfrac23\bigl[-\cos\theta\bigr]_{0}^{2\pi} =\pi + 0 =\pi.

Resposta

\pi

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