Determine, caso existam, os pontos críticos das funções abaixo:
f(x)=\frac{1}{3} x^{3}+\frac{1}{2} x^{2}-6 x+5

Passo 1

O enunciado pede para determinar os pontos críticos da função
f(x)=\tfrac{1}{3}x^{3}+\tfrac{1}{2}x^{2}-6x+5.
Conteúdo: cálculo de derivadas e definição de ponto crítico, que ocorre quando f'(x)=0 ou f'(x) não existe. Aqui f é polinomial, logo f' existe em todo x.

Passo 2

Calculamos a derivada de f. Como
f(x)=\tfrac{1}{3}x^{3}+\tfrac{1}{2}x^{2}-6x+5,
usamos a regra do poder em cada termo e obtemos
f'(x)=x^{2}+x-6.

Passo 3

Para achar os pontos críticos, resolvemos
x^{2}+x-6=0.
O discriminante é \Delta=1-4\cdot1\cdot(-6)=25. Logo as raízes são
x=\frac{-1\pm5}{2},
isto é,
x_{1}=2 \quad\text{e}\quad x_{2}=-3.

Passo 4

Para apresentar os pontos críticos no plano (x,f(x)), avaliamos f em x_{1} e x_{2}:
f(2)=\tfrac{1}{3}\cdot8+\tfrac{1}{2}\cdot4-12+5 = \tfrac{8}{3}+2-12+5 = -\tfrac{7}{3},
f(-3)=\tfrac{1}{3}\cdot(-27)+\tfrac{1}{2}\cdot9+18+5 = -9+4{,}5+18+5 = \tfrac{37}{2}.

Resposta

Os pontos críticos são
(-3,\tfrac{37}{2}) \quad\text{e}\quad (2,-\tfrac{7}{3}).

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