Determine, caso existam, os máximos e mínimos absolutos ou relativos das funções abaixo:
f(x)=x^{3}-3 x,-2 \leq x \leq 2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os máximos e mínimos — absolutos ou relativos — da função
f(x)=x^{3}-3x
no intervalo fechado -2\le x\le2. O conteúdo envolvido é análise de derivadas para classificar extremos e comparação de valores em pontos críticos e extremos do domínio.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira para achar pontos críticos:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}-3x\bigr)=3x^{2}-3.
Igualando a zero,
3x^{2}-3=0 \implies x^{2}=1 \implies x=\pm1.
Os candidatos a extremos são x=-1, x=1 e os extremos do intervalo x=-2 e x=2.

Passo 3

Para classificar x=\pm1, usamos a derivada segunda:
f''(x)=\frac{d}{dx}(3x^{2}-3)=6x.
Em x=-1: f''(-1)=6\cdot(-1)=-6<0, logo há um máximo local em x=-1.
Em x=1: f''(1)=6\cdot1=6>0, logo há um mínimo local em x=1.

Passo 4

Agora avaliamos f em todos os pontos candidatos:
f(-2)=(-2)^{3}-3(-2)=-8+6=-2,
f(-1)=(-1)^{3}-3(-1)=-1+3=2,
f(1)=1^{3}-3\cdot1=1-3=-2,
f(2)=2^{3}-3\cdot2=8-6=2.

Passo 5

Comparando os valores:
  • O valor máximo é 2, atingido em x=-1 e em x=2.
  • O valor mínimo é -2, atingido em x=-2 e em x=1.
  • Localmente, há máximo relativo em x=-1 e mínimo relativo em x=1.

Resposta

Máximo relativo em x=-1 com f(-1)=2.
Mínimo relativo em x=1 com f(1)=-2.
Máximos absolutos em x=-1 e x=2, ambos com valor 2.
Mínimos absolutos em x=-2 e x=1, ambos com valor -2.

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