Enuncie o Teorema do Valor Final. Explique sob que condições sobre
este teorema pode ser aplicado.
Passo 1
O enunciado pede para enunciar o Teorema do Valor Final no domínio de Laplace e explicar sob que condições sobre
ele pode ser aplicado. O conteúdo da matéria envolve transformada de Laplace e análise do comportamento assintótico de funções no tempo, e vamos precisar lembrar dos conceitos de polos de
e da convergência da transformada.
Passo 2
A ideia central é relacionar o limite de
quando
com um limite em
da sua transformada de Laplace
. Isso nos permite obter o valor final sem precisar inverter toda a transformada.
Passo 3
O enunciado do Teorema do Valor Final é: se
tem transformada de Laplace
e o limite existir, então
Passo 4
Para que esse teorema possa ser aplicado de forma válida,
deve satisfazer as seguintes condições:
- Todos os polos de
precisam estar estritamente no semiplano esquerdo , com exceção de, no máximo, um polo simples em . -
não pode ter polos no semiplano direito ou polos de ordem maior que 1 em . - A função
deve convergir para um valor finito quando .
Essas condições garantem que o limite no tempo exista e que não haja oscilações ou divergências que invalidem a troca de limites entree .
Resposta
Teorema do Valor Final: Seja
uma função cuja transformada de Laplace é
. Se todos os polos de
estão em
, salvo um possível polo simples em
, e se
converge para um valor finito, então vale: