Enuncie o Teorema do Valor Final. Explique sob que condições sobre F(s) este teorema pode ser aplicado.

Passo 1

O enunciado pede para enunciar o Teorema do Valor Final no domínio de Laplace e explicar sob que condições sobre F(s) ele pode ser aplicado. O conteúdo da matéria envolve transformada de Laplace e análise do comportamento assintótico de funções no tempo, e vamos precisar lembrar dos conceitos de polos de F(s) e da convergência da transformada.

Passo 2

A ideia central é relacionar o limite de f(t) quando ttoinfty com um limite em s da sua transformada de Laplace F(s). Isso nos permite obter o valor final sem precisar inverter toda a transformada.

Passo 3

O enunciado do Teorema do Valor Final é: se f(t) tem transformada de Laplace F(s) e o limite existir, então
limttoinftyf(t)=limsto0s,F(s)

Passo 4

Para que esse teorema possa ser aplicado de forma válida, F(s) deve satisfazer as seguintes condições:
  • Todos os polos de s,F(s) precisam estar estritamente no semiplano esquerdo Re(s)<0, com exceção de, no máximo, um polo simples em s=0.
  • F(s) não pode ter polos no semiplano direito Re(s)>0 ou polos de ordem maior que 1 em s=0.
  • A função f(t) deve convergir para um valor finito quando ttoinfty.
    Essas condições garantem que o limite no tempo exista e que não haja oscilações ou divergências que invalidem a troca de limites entre t e s.

Resposta

Teorema do Valor Final: Seja f(t) uma função cuja transformada de Laplace é F(s). Se todos os polos de sF(s) estão em Re(s)<0, salvo um possível polo simples em s=0, e se f(t) converge para um valor finito, então vale:
limttoinftyf(t)=limsto0s,F(s)

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