Desenhe e calcule a área delimitada pelas equações abaixo.
x=y^3-y, x=1-y^4.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar e calcular a área delimitada pelas curvas x=y^3-y e x=1-y^4. O conteúdo aqui é cálculo de área no plano usando integração em relação a y, e vamos precisar: encontrar os pontos de interseção, identificar qual curva fica mais à direita, montar a integral integral (xdireita-xesquerda),dy e calcular.

Passo 2

Para achar onde as curvas se cruzam, igualamos as expressões de x:
y^3 - y = 1 - y^4
Rearranjando,
y^4 + y^3 - y - 1 = 0
Fatorando, obtemos raízes reais y=-1 e y=1. Então os limites de integração são de y=-1 a y=1.

Passo 3

Precisamos saber qual curva é a fronteira à direita. Tomando, por exemplo, y=0:
x1 = y^3 - y = 0, x2 = 1 - y^4 = 1
Logo x=1-y^4 fica à direita e x=y^3-y à esquerda. A área vale
A = integral-1^1l[(1 - y^4) - (y^3 - y)r],dy = integral-1^1l(1 - y^4 - y^3 + yr),dy

Passo 4

Agora basta integrar termo a termo. Uma primitiva é
F(y)=y - y^55 - y^44 + y^22
Então
A = F(1) - F(-1) = l(1 - tfrac15 - tfrac14 + tfrac12r) - l(-1 + tfrac15 - tfrac14 + tfrac12r) = 85

Resposta

A área delimitada pelas curvas é 85.

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