Obtenha a Transformada de Laplace Inversa abaixo.

Dica: Use completamento de quadrado no denominador e o Teorema do deslocamento complexo visto em sala.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace inversa de 3s-4s^2+6s+8. O conteúdo envolve transformada inversa, completamento de quadrado e o teorema do deslocamento ( Le^-atf(t)=F(s+a)). Vamos também usar as transformadas básicas de cosh(t) e sinh(t).

Passo 2

Faça completamento de quadrado no denominador:
s^2 + 6s + 8 = (s+3)^2 -1

Passo 3

Reescreva o numerador em termos de s+3:
3s - 4 = 3(s+3) -13

Passo 4

Separe a fração em duas parcelas:
$$\frac{3s-4}{s^2+6s+8} = \frac{3(s+3)}{(s+3)^2-1} ;-
; \frac{13}{(s+3)^2-1}$$

Passo 5

Aplique a transformada inversa em cada parcela usando o deslocamento e as transformadas conhecidas: para
s+3(s+3)^2-1 temos e^-3tcosh(t),
e para 1(s+3)^2-1 temos e^-3tsinh(t). Por fim, basta somar as duas contribuições com os coeficientes 3 e -13 para obter a expressão da transformada inversa.

Resposta

e^-3tl(3cosh(t) - 13sinh(t)r)

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