- (a) Enuncie o Teorema do Valor Médio.
(b) Mostre que
, para todo
tal que
.
(b) Mostre que
Passo 1
O enunciado tem duas partes:
(a) enunciar o Teorema do Valor Médio (TVM), que é um resultado de cálculo diferencial;
(b) mostrar a identidade
(a) enunciar o Teorema do Valor Médio (TVM), que é um resultado de cálculo diferencial;
(b) mostrar a identidade
para
em
(note que nos interessa o domínio onde ambas as funções inversas são bem definidas e diferenciáveis). Vamos usar o TVM e as derivadas de
e
.
Passo 2
Enunciamos o Teorema do Valor Médio:
Seja contínua em
e diferenciável em
. Então existe
tal que
Seja
Passo 3
Para a parte (b), definimos a função
considerando
. Observamos que
é contínua em
e diferenciável em
, e o mesmo vale para
.
Passo 4
Calculamos
em
. Usamos
Aqui
tem
. Logo,
Passo 5
Simplificamos o denominador da segunda fração:
então
(para
). Assim
Logo
Passo 6
Como
em
, pelo TVM (ou diretamente pelo fato de derivada nula) concluímos que
é constante em
. Em particular, para todo
Mas
Passo 7
Logo
em
, o que é exatamente
Resposta
(a) Se
é contínua em
e diferenciável em
, então existe
tal que
(b) Definindo
e usando as derivadas de
e
, mostramos que
em
, logo
é constante em
e, como
, segue