1. (a) Enuncie o Teorema do Valor Médio.
    (b) Mostre que 2 arcsen(x)-arccos (1-2 x^2)=0, para todo x tal que |x| <= 1.

Passo 1

O enunciado tem duas partes:
(a) enunciar o Teorema do Valor Médio (TVM), que é um resultado de cálculo diferencial;
(b) mostrar a identidade
2,arcsen(x);-;arccosl(1-2x^2r);=;0
para x em [0,1] (note que nos interessa o domínio onde ambas as funções inversas são bem definidas e diferenciáveis). Vamos usar o TVM e as derivadas de arcsen e arccos.

Passo 2

Enunciamos o Teorema do Valor Médio:
Seja f contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b). Então existe cin(a,b) tal que
f'(c) ;=;f(b)-f(a)b-a

Passo 3

Para a parte (b), definimos a função
f(x) ;=;2,arcsen(x);-;arccosl(1-2x^2r),
considerando xin[0,1]. Observamos que arcsen(x) é contínua em [0,1] e diferenciável em (0,1), e o mesmo vale para arccos(1-2x^2).

Passo 4

Calculamos f'(x) em (0,1). Usamos
ddxl[arcsen(x)r] =1raiz1-x^2, ddxl[arccos(u)r] =-u'raiz1-u^2
Aqui u(x)=1-2x^2 tem u'(x)=-4x. Logo,
f'(x) =2cdot1raiz1-x^2 ;-;l(--4xraiz1-(1-2x^2)^2r) =21raiz1-x^2 -4xraiz1-(1-2x^2)^2

Passo 5

Simplificamos o denominador da segunda fração:
1-(1-2x^2)^2 =1-l(1-4x^2+4x^4r) =4x^2(1-x^2),
então raiz1-(1-2x^2)^2=2xraiz1-x^2 (para x>0). Assim
4xraiz1-(1-2x^2)^2 =4x2xraiz1-x^2 =21raiz1-x^2
Logo
f'(x) =21raiz1-x^2 -21raiz1-x^2 =0 para todo xin(0,1)

Passo 6

Como f'(x)=0 em (0,1), pelo TVM (ou diretamente pelo fato de derivada nula) concluímos que f é constante em [0,1]. Em particular, para todo xin[0,1]
f(x)=f(0)
Mas
f(0) =2,arcsen(0)-arccosl(1-0r) =2cdot0-arccos(1) =0-0 =0

Passo 7

Logo f(x)=0 em [0,1], o que é exatamente
2,arcsen(x)-arccosl(1-2x^2r)=0

Resposta

(a) Se f é contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b), então existe cin(a,b) tal que
f'(c)=f(b)-f(a)b-a
(b) Definindo f(x)=2,arcsen(x)-arccos(1-2x^2) e usando as derivadas de arcsen e arccos, mostramos que f'(x)=0 em (0,1), logo f é constante em [0,1] e, como f(0)=0, segue
2,arcsen(x)-arccos(1-2x^2)=0 forall,xin[0,1]

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