- Determine os valores máximos e mínimos absolutos e locais da função
, no intervalo
[0,5] .
Passo 1
O enunciado pede os extremos absolutos e locais de
no intervalo
[0,5] .
Para isso vamos estudar o polinômio interno
Para isso vamos estudar o polinômio interno
identificar onde
g muda de sinal e, em cada ramo, calcular derivadas, críticos e valores em pontos relevantes.
Passo 2
Determinamos as raízes e o sinal de
g :
Como o vértice de
g é em
x=4 com
g(4)=-4 , temos
- em
:[0,2] , logog(x)>=0 ,f(x)=g(x)=x^2-8x+12 - em
:[2,5] , logog(x)<=0 .f(x)=-g(x)=-x^2+8x-12
Passo 3
Calculamos as derivadas em cada ramo e achamos os críticos internos:
- Para
,xin(0,2)
Zeramos
2x-8=0implies x=4 , mas
4notin(0,2) . Logo não há crítico em
(0,2) .
- Para
,xin(2,5)
Zeramos
-2x+8=0implies x=4 , que pertence a
(2,5) . Então
x=4 é crítico.
- No ponto de mudança de ramo
temos um “canto” (cúspide) poisx=2
portanto
x=2 pode ser mínimo local.
Além disso, consideramos os extremos do intervalo:
x=0 e
x=5 .
Passo 4
Calculamos
f nos pontos relevantes:
-
:x=0
-
:x=2
-
:x=4
-
:x=5
Passo 5
Classificando:
- Valor mínimo absoluto: o menor valor é
em0 .x=2 - Valor máximo absoluto: o maior valor é
em12 .x=0 - Mínimo local: em
(cúspide),x=2 .f(2)=0 - Máximo local: em
,x=4 .f(4)=4
Resposta
Máximo absoluto:
(x,f(x))=(0,12)
Mínimo absoluto:(x,f(x))=(2,0)
Máximo local:(x,f(x))=(4,4)
Mínimo local:(x,f(x))=(2,0)
Mínimo absoluto:
Máximo local:
Mínimo local: