1. Determine os valores máximos e mínimos absolutos e locais da função f(x)=|x^2-8 x+12|, no intervalo [0,5].

Passo 1

O enunciado pede os extremos absolutos e locais de
f(x)=l|x^2-8x+12r|
no intervalo [0,5].
Para isso vamos estudar o polinômio interno
g(x)=x^2-8x+12
identificar onde g muda de sinal e, em cada ramo, calcular derivadas, críticos e valores em pontos relevantes.

Passo 2

Determinamos as raízes e o sinal de g:
x^2-8x+12=0implies x=2 ou x=6
Como o vértice de g é em x=4 com g(4)=-4, temos
  • em [0,2]: g(x)>=0, logo f(x)=g(x)=x^2-8x+12,
  • em [2,5]: g(x)<=0, logo f(x)=-g(x)=-x^2+8x-12.

Passo 3

Calculamos as derivadas em cada ramo e achamos os críticos internos:
  1. Para xin(0,2),
f(x)=x^2-8x+12, f'(x)=2x-8
Zeramos 2x-8=0implies x=4, mas 4notin(0,2). Logo não há crítico em (0,2).
  1. Para xin(2,5),
f(x)=-x^2+8x-12, f'(x)=-2x+8
Zeramos -2x+8=0implies x=4, que pertence a (2,5). Então x=4 é crítico.
  1. No ponto de mudança de ramo x=2 temos um “canto” (cúspide) pois
f'(2^-)=2cdot2-8=-4, f'(2^+)= -2cdot2+8=4,
portanto x=2 pode ser mínimo local.
Além disso, consideramos os extremos do intervalo: x=0 e x=5.

Passo 4

Calculamos f nos pontos relevantes:
  • x=0:
f(0)=|0^2-8cdot0+12|=12
  • x=2:
f(2)=|2^2-8cdot2+12|=|4-16+12|=0
  • x=4:
f(4)=|4^2-8cdot4+12|=|16-32+12|=4
  • x=5:
f(5)=|5^2-8cdot5+12|=|25-40+12|=3

Passo 5

Classificando:
  • Valor mínimo absoluto: o menor valor é 0 em x=2.
  • Valor máximo absoluto: o maior valor é 12 em x=0.
  • Mínimo local: em x=2 (cúspide), f(2)=0.
  • Máximo local: em x=4, f(4)=4.

Resposta

Máximo absoluto: (x,f(x))=(0,12)
Mínimo absoluto: (x,f(x))=(2,0)
Máximo local: (x,f(x))=(4,4)
Mínimo local: (x,f(x))=(2,0)

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