Enuncie o Teorema de Weierstrass. A seguir, encontre os valores máximo e mínimo absolutos de cada função f no intervalo dado:
f(x)=\left(x^{2}-1\right)^{3}[-1 ; 2]

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Enunciar o Teorema de Weierstrass.
  • Encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função f no intervalo dado.
As informações fornecidas:
  • A função é f(x)=\left(x^{2}-1\right)^{3}.
  • O intervalo é [-1;2], ou seja, todos os x com -1\le x\le2.

Passo 2

Enunciado do Teorema de Weierstrass (forma padrão):
Qualquer função contínua definida num intervalo fechado e limitado atinge seu máximo absoluto e seu mínimo absoluto nesse intervalo.
Explicando em palavras: se g é contínua em [a,b], então existem pontos x_{\min} e x_{\max} em [a,b] tais que, para todo x\in[a,b],
g(x_{\min}) \le g(x) \le g(x_{\max}).
Ou seja, os extremos absolutos existem e são atingidos dentro do intervalo.

Passo 3

Verificação das hipóteses do teorema:
A função dada é f(x)=\left(x^{2}-1\right)^{3}. É um polinômio em x (pois x^2-1 é polinômio e ele elevado à potência 3 continua sendo um polinômio), e todo polinômio é contínuo para todo x\in\mathbb{R}. Portanto f é contínua em [-1,2]. Pelo Teorema de Weierstrass, f deve atingir máximo e mínimo absolutos em [-1,2]. Agora vamos encontrá-los.

Passo 4

Estratégia para encontrar extremos absolutos num intervalo fechado:
Os candidatos a extremos são:
  • pontos interiores onde a derivada existe e é zero (pontos críticos),
  • pontos onde a derivada não existe (aqui a derivada existe para polinômios),
  • e os extremos do intervalo (os endpoints) -1 e 2.
Assim, vamos calcular a derivada f'(x), encontrar os pontos críticos em [-1,2] e comparar os valores de f nesses pontos e nos endpoints.

Passo 5

Cálculo da derivada passo a passo (regra do poder e regra da cadeia):
Temos f(x)=\big(u(x)\big)^3 com u(x)=x^2-1. Pela regra da cadeia, a derivada de (u(x))^3 é 3(u(x))^2\cdot u'(x).
Calcule u'(x): como u(x)=x^2-1, aplicando a regra do poder, u'(x)=2x.
Portanto,
f'(x)=3\big(x^{2}-1\big)^{2}\cdot(2x)=6x\big(x^{2}-1\big)^{2}.
Aqui cada fator significa:
  • 6x vem da derivada do interior multiplicada por 3,
  • \big(x^{2}-1\big)^{2} é o quadrado do interior, resultante da derivada de potência.

Passo 6

Encontrar pontos críticos: resolver f'(x)=0.
6x\big(x^{2}-1\big)^{2}=0.
Um produto é zero quando ao menos um fator é zero. Temos os fatores:
  • 6x=0 \Rightarrow x=0.
  • \big(x^{2}-1\big)^{2}=0 \Rightarrow x^{2}-1=0 \Rightarrow x=\pm1.
Os pontos críticos são x=-1,\,0,\,1. Agora restringimos ao intervalo [-1,2]: todos esses estão no intervalo (observe que -1 é extremo esquerdo, 1 e 0 são interiores). Também consideramos o endpoint x=2. Portanto os pontos a comparar são x=-1,\,0,\,1,\,2.

Passo 7

Avaliar f em cada candidato (mostrando os cálculos):
  • Em x=-1:
f(-1)=\big((-1)^{2}-1\big)^{3}=\big(1-1\big)^{3}=0^{3}=0.
  • Em x=0:
f(0)=\big(0^{2}-1\big)^{3}=\big(-1\big)^{3}=-1.
  • Em x=1:
f(1)=\big(1^{2}-1\big)^{3}=\big(1-1\big)^{3}=0^{3}=0.
  • Em x=2:
f(2)=\big(2^{2}-1\big)^{3}=\big(4-1\big)^{3}=3^{3}=27.

Passo 8

Comparação dos valores para determinar máximos e mínimos absolutos:
Os valores obtidos são:
f(-1)=0,\quad f(0)=-1,\quad f(1)=0,\quad f(2)=27.
O menor desses valores é -1 (ocorre em x=0). O maior é 27 (ocorre em x=2). Portanto:
  • mínimo absoluto: f(0)=-1,
  • máximo absoluto: f(2)=27.

Resposta

Mínimo absoluto: f(0)=-1
Máximo absoluto: f(2)=27

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