Enuncie o Teorema de Weierstrass. A seguir, encontre os valores máximo e mínimo absolutos de cada função
no intervalo dado:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Enunciar o Teorema de Weierstrass.
- Encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função
no intervalo dado.
As informações fornecidas:
- A função é
. - O intervalo é
, ou seja, todos os com .
Passo 2
Enunciado do Teorema de Weierstrass (forma padrão):
Qualquer função contínua definida num intervalo fechado e limitado atinge seu máximo absoluto e seu mínimo absoluto nesse intervalo.
Explicando em palavras: se é contínua em
, então existem pontos
e
em
tais que, para todo
,
Qualquer função contínua definida num intervalo fechado e limitado atinge seu máximo absoluto e seu mínimo absoluto nesse intervalo.
Explicando em palavras: se
Ou seja, os extremos absolutos existem e são atingidos dentro do intervalo.
Passo 3
Verificação das hipóteses do teorema:
A função dada é . É um polinômio em
(pois
é polinômio e ele elevado à potência
continua sendo um polinômio), e todo polinômio é contínuo para todo
. Portanto
é contínua em
. Pelo Teorema de Weierstrass,
deve atingir máximo e mínimo absolutos em
. Agora vamos encontrá-los.
A função dada é
Passo 4
Estratégia para encontrar extremos absolutos num intervalo fechado:
Os candidatos a extremos são:
Os candidatos a extremos são:
- pontos interiores onde a derivada existe e é zero (pontos críticos),
- pontos onde a derivada não existe (aqui a derivada existe para polinômios),
- e os extremos do intervalo (os endpoints)
e .
Assim, vamos calcular a derivada
, encontrar os pontos críticos em
e comparar os valores de
nesses pontos e nos endpoints.
Passo 5
Cálculo da derivada passo a passo (regra do poder e regra da cadeia):
Temos com
. Pela regra da cadeia, a derivada de
é
.
Temos
Calcule
: como
, aplicando a regra do poder,
.
Portanto,
Aqui cada fator significa:
-
vem da derivada do interior multiplicada por , -
é o quadrado do interior, resultante da derivada de potência.
Passo 6
Encontrar pontos críticos: resolver
.
Um produto é zero quando ao menos um fator é zero. Temos os fatores:
Os pontos críticos são
. Agora restringimos ao intervalo
: todos esses estão no intervalo (observe que
é extremo esquerdo,
e
são interiores). Também consideramos o endpoint
. Portanto os pontos a comparar são
.
Passo 7
Avaliar
em cada candidato (mostrando os cálculos):
- Em
:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
Passo 8
Comparação dos valores para determinar máximos e mínimos absolutos:
Os valores obtidos são:
Os valores obtidos são:
O menor desses valores é
(ocorre em
). O maior é
(ocorre em
). Portanto:
- mínimo absoluto:
, - máximo absoluto:
.
Resposta
Mínimo absoluto:
Máximo absoluto:
Máximo absoluto: