Enuncie o Teste da Raiz e estude a convergência da série
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: enunciar o Teste da Raiz e estudar a convergência da série
Informações dadas e observações iniciais:
- O termo geral é
para . - Note que
, e para temos .
A tarefa é aplicar o Teste da Raiz à série e concluir sobre convergência (absoluta/condicional/divergência).
Passo 2
Enunciado do Teste da Raiz (Teste de Cauchy, forma usual):
- Seja
uma sequência de números complexos (ou reais). Defina
Então:
- Se
, a série converge absolutamente (portanto converge). - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo (outras técnicas são necessárias).
Explicação didática: a ideia é quantificar a taxa exponencial de decaimento (ou crescimento) dos termos. Se a raiz-ésima de tende a um número menor que 1, os termos caem geometricamente e a soma convergirá; se tende a algo maior que 1, os termos não vão a zero suficientemente rápido (ou crescem) e a série diverge.
Passo 3
Escolha do método: aqui os termos têm a forma de um polinômio em
dividido por uma potência exponencial
. Para séries que misturam potências polinomiais e exponenciais, o Teste da Raiz é muito conveniente porque a raiz
-ésima elimina a potência exponencial de forma direta e reduz o polinômio a uma expressão cujo limite é simples. Portanto vou aplicar o Teste da Raiz.
Passo 4
Calcular a raiz
-ésima do termo geral. Para
temos
Agora simplificamos cada parte:
e
. Assim
Passo 5
Determinar o limite (ou
) da expressão obtida quando
. Primeiro lembre que
Prova curta dessa afirmação: considere a função contínua
para
. Usando l’Hôpital para
,
Logo
, isto é
. Aplicando isso para
inteiro obtemos
. Portanto
Voltando à raiz,
Passo 6
Aplicando o Teste da Raiz: como
, a série
converge absolutamente. Logo a série converge.
Comentário extra (útil para prova): uma alternativa seria usar o Teste da Razão; neste caso também se obtém o limite
e a mesma conclusão. A ideia-chave é que potências exponenciais (como
) vencem qualquer polinômio (como
), produzindo convergência geométrica efetiva.
Resposta
A série converge absolutamente (logo converge).