Enuncie o Teste da Raiz e estude a convergência da série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{k^{3}}{3^{k}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: enunciar o Teste da Raiz e estudar a convergência da série
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{k^{3}}{3^{k}}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • O termo geral é a_k=\dfrac{k^{3}}{3^{k}} para k=0,1,2,\dots.
  • Note que a_0=\dfrac{0^{3}}{3^{0}}=0, e para k\ge1 temos a_k>0.
    A tarefa é aplicar o Teste da Raiz à série e concluir sobre convergência (absoluta/condicional/divergência).

Passo 2

Enunciado do Teste da Raiz (Teste de Cauchy, forma usual):
  • Seja (a_n)_{n\ge1} uma sequência de números complexos (ou reais). Defina
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.
Então:
  1. Se L<1, a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge absolutamente (portanto converge).
  2. Se L>1, a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n diverge.
  3. Se L=1, o teste é inconclusivo (outras técnicas são necessárias).
    Explicação didática: a ideia é quantificar a taxa exponencial de decaimento (ou crescimento) dos termos. Se a raiz n-ésima de |a_n| tende a um número menor que 1, os termos caem geometricamente e a soma convergirá; se tende a algo maior que 1, os termos não vão a zero suficientemente rápido (ou crescem) e a série diverge.

Passo 3

Escolha do método: aqui os termos têm a forma de um polinômio em k dividido por uma potência exponencial 3^{k}. Para séries que misturam potências polinomiais e exponenciais, o Teste da Raiz é muito conveniente porque a raiz k-ésima elimina a potência exponencial de forma direta e reduz o polinômio a uma expressão cujo limite é simples. Portanto vou aplicar o Teste da Raiz.

Passo 4

Calcular a raiz k-ésima do termo geral. Para a_k=\dfrac{k^{3}}{3^{k}} temos
\sqrt[k]{|a_k|}=\sqrt[k]{\frac{k^{3}}{3^{k}}}=\frac{\sqrt[k]{k^{3}}}{\sqrt[k]{3^{k}}}.
Agora simplificamos cada parte: \sqrt[k]{3^{k}}=3 e \sqrt[k]{k^{3}}=(k^{3})^{1/k}=k^{3/k}=(k^{1/k})^{3}. Assim
\sqrt[k]{|a_k|}=\frac{(k^{1/k})^{3}}{3}.

Passo 5

Determinar o limite (ou \limsup) da expressão obtida quando k\to\infty. Primeiro lembre que
\lim_{k\to\infty}k^{1/k}=1.
Prova curta dessa afirmação: considere a função contínua x\mapsto \dfrac{\ln x}{x} para x>0. Usando l’Hôpital para x\to\infty,
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1}=0.
Logo \lim_{x\to\infty}\ln(x^{1/x})=0, isto é \lim_{x\to\infty}x^{1/x}=e^{0}=1. Aplicando isso para k inteiro obtemos \lim_{k\to\infty}k^{1/k}=1. Portanto
\lim_{k\to\infty}k^{3/k}=\bigl(\lim_{k\to\infty}k^{1/k}\bigr)^{3}=1^{3}=1.
Voltando à raiz,
L=\lim_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_k|}=\lim_{k\to\infty}\frac{k^{3/k}}{3}=\frac{1}{3}.

Passo 6

Aplicando o Teste da Raiz: como L=\dfrac{1}{3}<1, a série \sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{k^{3}}{3^{k}} converge absolutamente. Logo a série converge.
Comentário extra (útil para prova): uma alternativa seria usar o Teste da Razão; neste caso também se obtém o limite \dfrac{1}{3} e a mesma conclusão. A ideia-chave é que potências exponenciais (como 3^{k}) vencem qualquer polinômio (como k^{3}), produzindo convergência geométrica efetiva.

Resposta

A série converge absolutamente (logo converge).

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