Enuncie o TFC e use-o para calcular as seguintes integrais definidas:
integral-1^0-4 x(1-2 x^2)^3 d x;

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) para avaliar a integral definida
integral-1^0-4xl(1-2x^2r)^3,dx
Vamos precisar de uma primitiva da função integrando, o que normalmente fazemos por substituição, e em seguida aplicar o TFC na forma
integrala^bf(x),dx = F(b)-F(a),
onde F é uma antiderivada de f.

Passo 2

Enunciado do Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2): se f é contínua em [a,b] e F é uma antiderivada de f neste intervalo (isto é, F'(x)=f(x)), então
integrala^bf(x),dx = F(b)-F(a)

Passo 3

Para encontrar a antiderivada de f(x)=-4x(1-2x^2)^3, observamos a forma “pai e filho”: se fizermos a substituição
u = 1-2x^2,
então
du = -4x,dx
Logo
-4x(1-2x^2)^3,dx = u^3,du

Passo 4

Integramos em u:
integral u^3,du = u^44 + C
Voltando a x, uma antiderivada de f(x) é
F(x) = l(1-2x^2r)^44

Passo 5

Aplicando o TFC entre a=-1 e b=0:
integral-1^0-4x(1-2x^2)^3,dx = F(0) - F(-1)
Calculamos
F(0) = l(1-2cdot0^2r)^44 = 1^44 = 14,
F(-1) = l(1-2cdot(-1)^2r)^44 = (1-2)^44 = (-1)^44 = 14
Portanto
F(0)-F(-1) = 14 - 14 = 0

Resposta

0

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