Considere as funções y=f(x) abaixo definidas. Analise cada uma com relação à existência de máximos e mínimos locais e absolutos.
f(x)=x^2 raiz1-x^2, x in[-1,1]

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x)=x^2raiz1-x^2, xin[-1,1]
determinar todos os pontos de máximo e mínimo, tanto locais quanto absolutos. Para isso vamos usar o teste da derivada: achar f'(x), resolver f'(x)=0 e depois classificar cada ponto e checar os extremos nos extremos do intervalo.

Passo 2

Calcular f'(x) por produto e cadeia. Escrevendo
u(x)=x^2, v(x)=(1-x^2)^1/2,
temos
u'(x)=2x, v'(x)=tfrac12(1-x^2)^-1/2cdot(-2x)=-xraiz1-x^2
Pelo produto,
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) =2xraiz1-x^2+x^2l(-xraiz1-x^2r)
Colocando sobre denominar comum raiz1-x^2,
f'(x) =2x(1-x^2)-x^3raiz1-x^2 =x(2-3x^2)raiz1-x^2

Passo 3

Encontrar pontos críticos em (-1,1) resolvendo f'(x)=0. O denominador nunca zera no interior, então basta
x(2-3x^2)=0 Longrightarrow x=0 ou 2-3x^2=0;Longrightarrow;x=pmraiztfrac23
Além disso, checaremos também os extremos do domínio x=-1 e x=1.

Passo 4

Classificar cada ponto usando o sinal de f'(x):
  • Para x=0: se x<0 pequeno, f'(x)sim xcdot2>0? Na verdade, para xto0^-, x<0 e 2-3x^2>0 dão f'(x)<0; para xto0^+, f'(x)>0. Então f' vai de negativo a positivo e x=0 é mínimo local.
  • Para x=pmraiz2/3: note que para 0<x<raiz2/3, x>0 e 2-3x^2>0 dão f'>0, e para x>raiz2/3 até 1 temos 2-3x^2<0 e x>0 dando f'<0. Logo em +raiz2/3 ocorre muda de positivo para negativo: máximo local. Igual raciocínio para -raiz2/3 (sinal de x inverte mas o produto também muda de + para –): máximo local.

Passo 5

Avaliar f nos pontos críticos e nas bordas:
f(0)=0, fl(pmraiztfrac23r) =23raiz1-tfrac23 =23raiztfrac13 =23cdot1raiz3 =23raiz3 =2raiz39,
f(-1)=(-1)^2raiz1-1=0, f(1)=1^2cdot0=0
Comparando, o maior valor é tfrac2raiz39 e o menor é 0.

Resposta

Pontos de máximo local e absoluto em
x=pmraiztfrac23,
com valor
fl(pmraiztfrac23r)=2raiz39
Ponto de mínimo local em
x=0,
com f(0)=0.
Mínimos absolutos também em x=-1 e x=1, pois f(-1)=f(1)=0.

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