Considere as funções
abaixo definidas. Analise cada uma com relação à existência de máximos e mínimos locais e absolutos.
Passo 1
O enunciado pede para a função
determinar todos os pontos de máximo e mínimo, tanto locais quanto absolutos. Para isso vamos usar o teste da derivada: achar
, resolver
e depois classificar cada ponto e checar os extremos nos extremos do intervalo.
Passo 2
Calcular
por produto e cadeia. Escrevendo
temos
Pelo produto,
Colocando sobre denominar comum
,
Passo 3
Encontrar pontos críticos em
resolvendo
. O denominador nunca zera no interior, então basta
Além disso, checaremos também os extremos do domínio
e
.
Passo 4
Classificar cada ponto usando o sinal de
:
- Para
: se pequeno, ? Na verdade, para , e dão ; para , . Então vai de negativo a positivo e é mínimo local. - Para
: note que para , e dão , e para até temos e dando . Logo em ocorre muda de positivo para negativo: máximo local. Igual raciocínio para (sinal de inverte mas o produto também muda de para –): máximo local.
Passo 5
Avaliar
nos pontos críticos e nas bordas:
Comparando, o maior valor é
e o menor é
.
Resposta
Pontos de máximo local e absoluto em
com valor
Ponto de mínimo local em
com
.
Mínimos absolutos também em e
, pois
.
Mínimos absolutos também em