Enuncie o TFC e use-o para calcular as seguintes integrais definidas:
integral0^1 x(x^2+1)^3 d x;

Passo 1

O enunciado pede que a gente enuncie o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) e use-o para calcular a integral
integral0^1 x,(x^2+1)^3,dx
O conteúdo envolve o TFC e a técnica de substituição para encontrar antiderivadas.

Passo 2

O Teorema Fundamental do Cálculo afirma que, se f é contínua em [a,b] e F é uma antiderivada de f (isto é, F' = f), então
integrala^b f(x),dx = F(b) - F(a)

Passo 3

Para a integral integral0^1 x,(x^2+1)^3,dx, fazemos a substituição
u = x^2+1 Longrightarrow du = 2x,dx Longrightarrow x,dx = 12,du
Quando x=0, u=1; quando x=1, u=2. Logo a integral vira
I = integral0^1 x,(x^2+1)^3,dx = 12integral1^2 u^3,du

Passo 4

Agora encontramos a antiderivada de u^3:
integral u^3,du = u^44
Pelo TFC,
I = 12l[u^44r]u=1^u=2 = 12l(2^44 - 1^44r) = 12l(16-14r) = 158

Resposta

158

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