Falso ou verdadeiro? Procure justificar as afirmações falsas com um contra-exemplo.
1.4B Dê exemplo de duas seqüências
e
tais que
e
seja divergente.
Por que isso não contradiz o Critério 1.3.9?
1.4B Dê exemplo de duas seqüências
Passo 1
O enunciado pede duas sequências
e
tais que
-
, - a sequência de produtos
diverge.
O conteúdo principal é o critério de produto de sequências convergentes (Critério 1.3.9), que afirma: “See então ”. Vamos dar um contra-exemplo que não satisfaz as hipóteses desse critério.
Passo 2
Definimos
Como é clássico,
quando
. Logo
Passo 3
Definimos
Note que
e o fator
faz a sequência oscilar de sinal. Assim
não converge nem para um número finito nem para
.
Passo 4
Calculamos o produto:
A sequência
oscila entre
e
sem convergir, logo
diverge.
Passo 5
Não há contradição com o Critério 1.3.9 porque esse critério só vale quando ambas as sequências convergem. Aqui
não converge, portanto a hipótese do critério não está satisfeita.
Resposta
Um exemplo é
Então
e
diverge, sem contrariar o Critério 1.3.9.