Falso ou verdadeiro? Procure justificar as afirmações falsas com um contra-exemplo.
1.4B Dê exemplo de duas seqüências an e bn tais que lim n infty an=0 e an bn seja divergente.
Por que isso não contradiz o Critério 1.3.9?

Passo 1

O enunciado pede duas sequências an e bn tais que
  1. limntoinftyan=0,
  2. a sequência de produtos an bn diverge.
    O conteúdo principal é o critério de produto de sequências convergentes (Critério 1.3.9), que afirma: “Se anto A e bnto B então an bnto AB”. Vamos dar um contra-exemplo que não satisfaz as hipóteses desse critério.

Passo 2

Definimos
an = 1n
Como é clássico, 1nto0 quando ntoinfty. Logo
limntoinftyan=0

Passo 3

Definimos
bn = (-1)^n,n
Note que lvert bnrvert = ntoinfty e o fator (-1)^n faz a sequência oscilar de sinal. Assim bn não converge nem para um número finito nem para pminfty.

Passo 4

Calculamos o produto:
an bn = 1ncdot (-1)^n,n = (-1)^n
A sequência (-1)^n oscila entre 1 e -1 sem convergir, logo an bn diverge.

Passo 5

Não há contradição com o Critério 1.3.9 porque esse critério só vale quando ambas as sequências convergem. Aqui bn não converge, portanto a hipótese do critério não está satisfeita.

Resposta

Um exemplo é
an = 1n, bn = (-1)^n,n
Então lim an=0 e an bn = (-1)^n diverge, sem contrariar o Critério 1.3.9.

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