Seja
. Verifique que a imagem de
está contida na superfície
. Esboce a imagem de
.
Passo 1
O enunciado nos dá a curva paramétrica
e pede para verificar que todo ponto de
satisfaz a equação da superfície
e em seguida esboçar a imagem de
. O conteúdo usado será identidade trigonométrica
e interpretação geométrica de coordenadas cilíndricas variáveis.
Passo 2
Calculamos
Como
, segue
Logo, todo ponto
satisfaz
, isto é, a imagem de
está contida no hiperboloide de uma folha.
Passo 3
Para esboçar a curva note que em coordenadas cilíndricas temos raio
e ângulo
, com
. Conforme
varia, a curva dá voltas ao redor do eixo
com raio crescendo como
e sobe ou desce linearmente em
. Assim obtemos uma “espiral” helicoidal que se apoia na superfície
, com espessura (raio) aumentando quando
cresce.
Resposta
A imagem de
está contida no hiperboloide
e é uma espiral helicoidal que, ao girar com velocidade angular unificada
, move-se para cima (ou para baixo) e tem raio
crescendo com
.