Seja gamma(t)=(raizt^2+1 cos t, raizt^2+1 sen t, t), t in R. Verifique que a imagem de gamma está contida na superfície x^2+y^2-z^2=1. Esboce a imagem de gamma.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica
gamma(t)=l(x(t),y(t),z(t)r) =l(raizt^2+1cos t,;raizt^2+1sen t,;tr), tinR,
e pede para verificar que todo ponto de gamma satisfaz a equação da superfície
x^2+y^2-z^2=1,
e em seguida esboçar a imagem de gamma. O conteúdo usado será identidade trigonométrica cos^2t+sen^2t=1 e interpretação geométrica de coordenadas cilíndricas variáveis.

Passo 2

Calculamos
x(t)^2+y(t)^2 =l(raizt^2+1cos tr)^2 +l(raizt^2+1sen tr)^2 =(t^2+1)l(cos^2t+sen^2tr) =t^2+1
Como z(t)=t, segue
x(t)^2+y(t)^2-z(t)^2 =(t^2+1)-t^2=1
Logo, todo ponto gamma(t) satisfaz x^2+y^2-z^2=1, isto é, a imagem de gamma está contida no hiperboloide de uma folha.

Passo 3

Para esboçar a curva note que em coordenadas cilíndricas temos raio
r(t)=raizx(t)^2+y(t)^2=raizt^2+1
e ângulo theta(t)=t, com z(t)=t. Conforme t varia, a curva dá voltas ao redor do eixo z com raio crescendo como raiz1+t^2 e sobe ou desce linearmente em z. Assim obtemos uma “espiral” helicoidal que se apoia na superfície x^2+y^2-z^2=1, com espessura (raio) aumentando quando |t| cresce.

Resposta

A imagem de gamma está contida no hiperboloide
x^2+y^2-z^2=1
e é uma espiral helicoidal que, ao girar com velocidade angular unificada theta=t, move-se para cima (ou para baixo) e tem raio raiz1+t^2 crescendo com |t|.

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