Enuncie o TFC e use-o para calcular as seguintes integrais definidas:
integral0^2 xraiz1+2 x^2 d x;

Passo 1

Resumimos o problema: calcular
integral0^2xraiz1+2x^2,dx
usando o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC). O TFC diz que, se f é contínua em [a,b] e F é antiderivada de f, então
integrala^bf(x),dx = F(b) - F(a)

Passo 2

Precisamos encontrar uma antiderivada F(x) de
f(x)=xraiz1+2x^2
Fazemos a substituição
u = 1 + 2x^2, du = 4x,dx, x,dx = 14,du
Então
integral xraiz1+2x^2,dx = integral 1raizucdot14,du = 14integral u^-tfrac12,du = 14cdot2,u^tfrac12 + C = 12raizu + C
Voltando a x, obtemos
F(x) = 12raiz1+2x^2 + C

Passo 3

Aplicando o TFC em [0,2], escolhemos C=0 e calculamos
F(2) = 12raiz1+2cdot2^2 = 12raiz9 = 32, F(0) = 12raiz1 = 12
Logo,
integral0^2xraiz1+2x^2,dx = F(2) - F(0) = 32 - 12 = 1

Resposta

1

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