Usando a definição de limite, prove que:
(d) lim n infty 5+n2+3 n=13

Passo 1

Estamos estudando sequências e o conceito de limite de uma sequência real. A sequência em questão é
an = n+52+3n
e queremos mostrar que limn to inftyan = tfrac13 usando a definição: para todo varepsilon>0 existe N tal que, se n>= N, então l|an - tfrac13r|<varepsilon.

Passo 2

Primeiro calculamos a diferença
l|an - tfrac13r| = l|n+52+3n - 13r| = l|3(n+5) - (2+3n)3(2+3n)r| = l|3n+15 -2 -3n3(2+3n)r| = 133(2+3n)

Passo 3

Para simplificar, note que para todo n>=1 temos 2+3n >= 3n. Logo
133(2+3n) <= 133cdot 3n = 139n

Passo 4

Dado varepsilon>0, queremos 139n<varepsilon. Basta escolher n tal que
n > 139varepsilon
Se definirmos
N = maxl1,;llceil 139varepsilonrrceilr,
então para todo n>= N garantimos que 139n<= 139N<varepsilon.

Passo 5

Logo, para n>= N temos
l|an - tfrac13r| <= 139n < varepsilon
Isto demonstra, segundo a definição de limite de sequência, que
limntoinftyn+52+3n = 13

Resposta

13

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