(a) Mostre que a soluçāo (7) da equaçāo linear geral (1) pode ser colocada na forma
y=c y_{1}(t)+y_{2}(t),
onde c é uma constante arbitrária. Identifique as funções y_{1} e y_{2}.
(b) Mostre que y_{1} é uma solução da equação diferencial
y^{\prime}+p(t) y=0 .
correspondente a g(t)=0.
(c) Mostre que y_{2} é solução da equação linear geral (1). Veremos mais tarde (por exemplo, na Seção 3.5) que soluções de equações lineares de ordem mais alta têm um padrão semelhante ao da Eq. (i).

Passo 1

O enunciado pede três coisas e nos dá uma solução explícita da equação linear de primeira ordem. Especificamente:
  • A equação linear geral é \;y'+p(t)\,y=g(t)\;.
  • A solução dada (a solução (7) mencionada) tem a forma padrão obtida pelo fator integrante; isto é, existe uma constante arbitrária C e uma primitiva P(t)=\int p(t)\,dt tais que a solução pode ser escrita como
y(t)=e^{-P(t)}\Bigl(C+\int e^{P(t)}\,g(t)\,dt\Bigr).
As perguntas são:
(a) mostrar que essa expressão pode ser colocada na forma \;y=c\,y_{1}(t)+y_{2}(t)\; e identificar y_{1} e y_{2};
(b) mostrar que y_{1} satisfaz a equação homogênea \;y'+p(t)y=0\;;
(c) mostrar que y_{2} é solução da equação não homogênea \;y'+p(t)y=g(t)\;.

Passo 2

Escrevendo a solução dada de forma a separar a constante arbitrária, definições úteis:
  • Definir \;P(t)=\int p(t)\,dt\;. Aqui P'(t)=p(t).
  • Reescrever a solução dada com a constante C explícita:
y(t)=e^{-P(t)}\Bigl(C+\int e^{P(t)}\,g(t)\,dt\Bigr).
Agora distribuímos e^{-P(t)} para separar um termo proporcional à constante C e um termo que depende apenas de t:
y(t)=C\;e^{-P(t)} \;+\; e^{-P(t)}\!\left(\int e^{P(t)}\,g(t)\,dt\right).
Comparando com a forma \;y=c\,y_{1}(t)+y_{2}(t)\;, identificamos a constante arbitrária c com C e as funções:
\boxed{\,y_{1}(t)=e^{-P(t)} \quad\text{e}\quad y_{2}(t)=e^{-P(t)}\!\left(\int e^{P(t)}\,g(t)\,dt\right)\,}.
(Assim respondemos o item (a).)

Passo 3

Vamos mostrar que y_{1} é solução da equação homogênea \;y'+p(t)y=0\;.
  • Primeiro escrever y_{1}(t) explicitamente:
y_{1}(t)=e^{-P(t)}.
  • Calcular a derivada usando a regra da cadeia e P'(t)=p(t):
y_{1}'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(e^{-P(t)}\bigr)= -P'(t)\,e^{-P(t)} = -p(t)\,e^{-P(t)}.
  • Agora formar y_{1}'+p(t)y_{1}:
y_{1}'(t)+p(t)\,y_{1}(t)= -p(t)\,e^{-P(t)} + p(t)\,e^{-P(t)} = 0.
Portanto y_{1} satisfaz \;y'+p(t)y=0\;, como era para mostrar. Isso responde o item (b).

Passo 4

Agora mostrar que y_{2} é solução da equação não homogênea \;y'+p(t)y=g(t)\;.
  • Relembrar y_{2}(t):
y_{2}(t)=e^{-P(t)}\!\left(\int e^{P(t)}\,g(t)\,dt\right).
Para abreviar, escrevemos I(t)=\int e^{P(t)}\,g(t)\,dt, de modo que y_{2}(t)=e^{-P(t)}I(t).
  • Calcular y_{2}'(t) usando a regra do produto e o fato de que I'(t)=e^{P(t)}g(t) (teorema fundamental do cálculo):
y_{2}'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(e^{-P(t)}\bigr)\,I(t)+e^{-P(t)}\,I'(t).
Substituir \frac{d}{dt}\bigl(e^{-P(t)}\bigr)=-p(t)e^{-P(t)} e I'(t)=e^{P(t)}g(t):
y_{2}'(t)= -p(t)\,e^{-P(t)}I(t) + e^{-P(t)}\bigl(e^{P(t)}g(t)\bigr).
Simplificar o segundo termo:
y_{2}'(t)= -p(t)\,e^{-P(t)}I(t) + g(t).
  • Agora calcular y_{2}'+p(t)y_{2}:
y_{2}'(t)+p(t)\,y_{2}(t)=\bigl(-p(t)\,e^{-P(t)}I(t)+g(t)\bigr)+p(t)\bigl(e^{-P(t)}I(t)\bigr).
Os termos com p(t)\,e^{-P(t)}I(t) cancelam, sobrando
y_{2}'(t)+p(t)\,y_{2}(t)=g(t).
Portanto y_{2} é uma solução particular da equação linear original, como pedido. Isso responde o item (c).

Passo 5

Comentário final curto e encorajador: a decomposição em y=c\,y_{1}+y_{2} é o padrão geral para equações lineares de primeira ordem — uma solução geral é combinação da solução da homogênea (com constante arbitrária) mais uma solução particular. Esse padrão reaparece em ordens maiores, com combinações lineares das soluções homogêneas mais uma particular.

Resposta

y(t)=c\,y_{1}(t)+y_{2}(t), com y_{1}(t)=e^{-\int p(t)\,dt} e y_{2}(t)=e^{-\int p(t)\,dt}\displaystyle\int e^{\int p(t)\,dt}\,g(t)\,dt
y_{1} satisfaz y_{1}'+p(t)y_{1}=0
y_{2} satisfaz y_{2}'+p(t)y_{2}=g(t)

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