(a) Mostre que a soluçāo (7) da equaçāo linear geral (1) pode ser colocada na forma
onde
é uma constante arbitrária. Identifique as funções
e
.
(b) Mostre que
é uma solução da equação diferencial
correspondente a
.
(c) Mostre que
é solução da equação linear geral (1). Veremos mais tarde (por exemplo, na Seção 3.5) que soluções de equações lineares de ordem mais alta têm um padrão semelhante ao da Eq. (i).
(b) Mostre que
(c) Mostre que
Passo 1
O enunciado pede três coisas e nos dá uma solução explícita da equação linear de primeira ordem. Especificamente:
- A equação linear geral é
. - A solução dada (a solução
mencionada) tem a forma padrão obtida pelo fator integrante; isto é, existe uma constante arbitrária e uma primitiva tais que a solução pode ser escrita como
As perguntas são:
(a) mostrar que essa expressão pode ser colocada na forma e identificar
e
;
(b) mostrar que satisfaz a equação homogênea
;
(c) mostrar que é solução da equação não homogênea
.
(a) mostrar que essa expressão pode ser colocada na forma
(b) mostrar que
(c) mostrar que
Passo 2
Escrevendo a solução dada de forma a separar a constante arbitrária, definições úteis:
- Definir
. Aqui . - Reescrever a solução dada com a constante
explícita:
Agora distribuímos
para separar um termo proporcional à constante
e um termo que depende apenas de
:
Comparando com a forma
, identificamos a constante arbitrária
com
e as funções:
(Assim respondemos o item (a).)
Passo 3
Vamos mostrar que
é solução da equação homogênea
.
- Primeiro escrever
explicitamente:
- Calcular a derivada usando a regra da cadeia e
:
- Agora formar
:
Portanto
satisfaz
, como era para mostrar. Isso responde o item (b).
Passo 4
Agora mostrar que
é solução da equação não homogênea
.
- Relembrar
:
Para abreviar, escrevemos
, de modo que
.
- Calcular
usando a regra do produto e o fato de que (teorema fundamental do cálculo):
Substituir
e
:
Simplificar o segundo termo:
- Agora calcular
:
Os termos com
cancelam, sobrando
Portanto
é uma solução particular da equação linear original, como pedido. Isso responde o item (c).
Passo 5
Comentário final curto e encorajador: a decomposição em
é o padrão geral para equações lineares de primeira ordem — uma solução geral é combinação da solução da homogênea (com constante arbitrária) mais uma solução particular. Esse padrão reaparece em ordens maiores, com combinações lineares das soluções homogêneas mais uma particular.