Um substrato é convertido a produto pela ação catalítica de uma enzima. Considerando que os parâmetros cinéticos de Michaelis-Menten para esta reação são:
\mathrm{Km}=0,03 \mathrm{~g} / \mathrm{L}
\mathrm{r}_{\text {máx }}=13 \mathrm{~g} / \mathrm{L} \miná
a) Qual deve ser o tamanho de um CSTBR operando no estado estacionário para alcançar uma conversão de 95 \% de substrato ( \mathrm{C}_{50}=10 \mathrm{~g} / \mathrm{L} ) com uma vazão volumétrica de 10 \mathrm{~L} / \mathrm{h}.
b) Se empregarmos um PFR no lugar de um CSTBR, qual deve ser seu volume?

Passo 1

O enunciado pede dois volumes de reator para a mesma reação enzimática com cinética de Michaelis–Menten: (a) o volume de um reator contínuo operando em estado estacionário (CSTR) que atinja conversão de 95\% e (b) o volume de um reator de fluxo pistonizado (PFR) que atinja a mesma conversão.
Dados fornecidos:
K_m = 0,03\\ \mathrm{g/L}
r_{\text{máx}} = 13\\ \mathrm{g/(L\cdot min)}á
C_0 = 10\\ \mathrm{g/L}
\text{vazão volumétrica } Q = 10\\ \mathrm{L/h}ãé
Conversão desejada:
X = 0,95
Meta numérica: calcular V_{\text{CSTR}} e V_{\text{PFR}}.

Passo 2

Vamos padronizar unidades (muito importante para não errar): r_{\text{máx}}á está em \mathrm{g/(L\cdot min)}, então convertemos Q de \mathrm{L/h} para \mathrm{L/min}.
Q = 10\\ \mathrm{L/h} = \frac{10}{60}\\ \mathrm{L/min} = \frac{1}{6}\\ \mathrm{L/min} \approx 0,1667\\ \mathrm{L/min}
Vou trabalhar mantendo a fração \tfrac{1}{6} quando conveniente e apresentar aproximações ao final.

Passo 3

Calcular a concentração de saída C correspondente a X=0,95. A definição de conversão é X=(C_0-C)/C_0, logo:
C = C_0(1-X)
Substituindo:
C = 10\,(1-0,95)=10\cdot 0,05=0,5\\ \mathrm{g/L}.

Passo 4

Revisão rápida da lei de velocidade de Michaelis–Menten (espera, é curta e fundamental): a velocidade volumétrica da reação em função da concentração do substrato C é
r\text{(C)}=r_{\text{máx}}\frac{C}{K_m + C}.á
Aqui:
  • r\text{(C)} tem unidades \mathrm{g/(L\cdot min)} (taxa de consumo de substrato por volume),
  • r_{\text{máx}}á é a velocidade máxima (quando a enzima está saturada),
  • K_m é a constante de Michaelis (concentração na qual a velocidade é metade de r_{\text{máx}}á),
  • C é a concentração do substrato em \mathrm{g/L}.
Calculemos r em C=0,5\\ \mathrm{g/L}:
r(0,5)=13\cdot\frac{0,5}{0,03+0,5}=13\cdot\frac{0,5}{0,53}=\frac{6,5}{0,53}.
Agora avaliando numericamente:
r(0,5)\approx 12,2641509434\\ \mathrm{g/(L\cdot min)}.
Arredondando razoavelmente: r(0,5)\approx 12,26\\ \mathrm{g/(L\cdot min)}.

Passo 5

Cálculo do volume do CSTR por balanço de massa no estado estacionário (regra de ouro do CSTR): entrada menos saída mais consumo no reator = 0. Matematicamente:
Q C_0 - Q C - V r\text{(C)} = 0.
Isolando V:
V = \frac{Q (C_0 - C)}{r\text{(C)}}.
Explicando as unidades para não se perder: Q(C_0-C) tem unidades \mathrm{(L/min)\cdot(g/L)=g/min}. Dividindo por r\text{(C)} que é \mathrm{g/(L\cdot min)} resulta em \mathrm{L} (bom!).
Agora substituímos valores (usar Q=\tfrac{1}{6}\\ \mathrm{L/min}, C_0-C=9,5\\ \mathrm{g/L} e r(0,5)\approx 12,26415):
V_{\text{CSTR}}=\frac{\tfrac{1}{6}\cdot 9,5}{12,2641509434}=\frac{9,5/6}{12,2641509434}.
Calculemos numericamente:
\frac{9,5}{6}=1,5833333333\\ \mathrm{g/min}.
V_{\text{CSTR}}=\frac{1,5833333333}{12,2641509434}\approx 0,1291262136\\ \mathrm{L}.
Arredondando para três algarismos significativos:
V_{\text{CSTR}}\approx 0,129\\ \mathrm{L}\quad(\text{ou }129\\ \mathrm{mL}).

Passo 6

Para o PFR usamos a relação integral entre concentração e tempo de residência: a queda diferencial de concentração satisfaz dC/dt = -r\text{(C)}. No PFR, a relação entre tempo de residência \tau e concentrações é
\tau = \int_{C}^{C_0}\frac{dC}{r\text{(C)}}.
O volume do PFR é V_{\text{PFR}} = Q\cdot \tau.
Substituímos r\text{(C)}=r_{\text{máx}}\dfrac{C}{K_m + C}á. Então
\frac{1}{r\text{(C)}}=\frac{K_m + C}{r_{\text{máx}}\,C}=\frac{K_m}{r_{\text{máx}}}\cdot\frac{1}{C}+\frac{1}{r_{\text{máx}}}.ááá
Integramos de C até C_0:
\tau=\int_{C}^{C_0}\left(\frac{K_m}{r_{\text{máx}}}\frac{1}{C}+\frac{1}{r_{\text{máx}}}\right)dC.áá
Essa integral é direta — explicando cada termo:
  • \int \frac{1}{C} dC = \ln C,
  • \int 1\,dC = C.
Portanto
\tau=\frac{1}{r_{\text{máx}}}\left[ K_m\ln\!\left(\frac{C_0}{C}\right) + (C_0 - C)\right].á

Passo 7

Agora avaliamos numericamente \tau e V_{\text{PFR}}. Substituindo K_m=0,03, r_{\text{máx}}=13á, C_0=10, C=0,5:
K_m\ln\!\left(\frac{C_0}{C}\right)=0,03\ln\!\left(\frac{10}{0,5}\right)=0,03\ln(20).
Sabendo que \ln(20)\approx 2,9957322736,
0,03\cdot\ln(20)\approx 0,0898719672.
Somando com C_0-C=9,5:
K_m\ln\!\left(\frac{C_0}{C}\right)+(C_0-C)\approx 9,5898719672.
Dividindo por r_{\text{máx}}=13á:
\tau \approx \frac{9,5898719672}{13}\approx 0,7376824598\\ \mathrm{min}.
Finalmente
V_{\text{PFR}}=Q\cdot\tau=\frac{1}{6}\cdot 0,7376824598\approx 0,1229470766\\ \mathrm{L}.
Arredondando razoavelmente:
V_{\text{PFR}}\approx 0,123\\ \mathrm{L}\quad(\text{ou }123\\ \mathrm{mL}).

Passo 8

Pequena interpretação (pra te animar): o PFR precisa de um volume um pouco menor que o CSTR para alcançar a mesma conversão quando a velocidade aumenta com a concentração (como aqui, com Michaelis–Menten). Isso é esperado: o PFR aproveita melhor as altas taxas iniciais porque a concentração decai ao longo do reator.

Resposta

V_{\text{CSTR}}\approx 0,129\\ \mathrm{L} (≈ 129\\ \mathrm{mL})
V_{\text{PFR}}\approx 0,123\\ \mathrm{L} (≈ 123\\ \mathrm{mL})

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