Um substrato é convertido a produto pela ação catalítica de uma enzima. Considerando que os parâmetros cinéticos de Michaelis-Menten para esta reação são:
a) Qual deve ser o tamanho de um CSTBR operando no estado estacionário para alcançar uma conversão de
de substrato (
) com uma vazão volumétrica de
.
b) Se empregarmos um PFR no lugar de um CSTBR, qual deve ser seu volume?
a) Qual deve ser o tamanho de um CSTBR operando no estado estacionário para alcançar uma conversão de
b) Se empregarmos um PFR no lugar de um CSTBR, qual deve ser seu volume?
Passo 1
O enunciado pede dois volumes de reator para a mesma reação enzimática com cinética de Michaelis–Menten: (a) o volume de um reator contínuo operando em estado estacionário (CSTR) que atinja conversão de
e (b) o volume de um reator de fluxo pistonizado (PFR) que atinja a mesma conversão.
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
Conversão desejada:
Meta numérica: calcular
e
.
Passo 2
Vamos padronizar unidades (muito importante para não errar):
está em
, então convertemos
de
para
.
Vou trabalhar mantendo a fração
quando conveniente e apresentar aproximações ao final.
Passo 3
Calcular a concentração de saída
correspondente a
. A definição de conversão é
, logo:
Substituindo:
Passo 4
Revisão rápida da lei de velocidade de Michaelis–Menten (espera, é curta e fundamental): a velocidade volumétrica da reação em função da concentração do substrato
é
Aqui:
-
tem unidades (taxa de consumo de substrato por volume), -
é a velocidade máxima (quando a enzima está saturada), -
é a constante de Michaelis (concentração na qual a velocidade é metade de ), -
é a concentração do substrato em .
Calculemos
em
:
Agora avaliando numericamente:
Arredondando razoavelmente:
.
Passo 5
Cálculo do volume do CSTR por balanço de massa no estado estacionário (regra de ouro do CSTR): entrada menos saída mais consumo no reator = 0. Matematicamente:
Isolando
:
Explicando as unidades para não se perder:
tem unidades
. Dividindo por
que é
resulta em
(bom!).
Agora substituímos valores (usar
,
e
):
Calculemos numericamente:
Arredondando para três algarismos significativos:
Passo 6
Para o PFR usamos a relação integral entre concentração e tempo de residência: a queda diferencial de concentração satisfaz
. No PFR, a relação entre tempo de residência
e concentrações é
O volume do PFR é
.
Substituímos
. Então
Integramos de
até
:
Essa integral é direta — explicando cada termo:
-
, -
.
Portanto
Passo 7
Agora avaliamos numericamente
e
. Substituindo
,
,
,
:
Sabendo que
,
Somando com
:
Dividindo por
:
Finalmente
Arredondando razoavelmente:
Passo 8
Pequena interpretação (pra te animar): o PFR precisa de um volume um pouco menor que o CSTR para alcançar a mesma conversão quando a velocidade aumenta com a concentração (como aqui, com Michaelis–Menten). Isso é esperado: o PFR aproveita melhor as altas taxas iniciais porque a concentração decai ao longo do reator.