Uma enzima E catalisa a fermentação do substrato A (o reagente) no produto R . Encontre a capacidade necessária do reator de mistura perfeita, para converter 95 \% do reagente, considerando uma vazão volumétrica de 25 \mathrm{~L} / \mathrm{min} do reagente A ( 2 \mathrm{mols} / \mathrm{L} ) e de enzima. A cinética da fermentação nesta concentração específica da enzima é dada por:
A \rightarrow R, Lei de velocidade: -r_{A}=0,1 C_{A} / 1+0,5 C_{A}(\mathrm{~mol} / \mathrm{L} . \mathrm{min}).
(Resposta: \approx 5 \mathrm{~m}^{3} ).

Passo 1

Enunciado e dados (o que se pede e o que foi dado):
  • Pede-se a capacidade (volume) de um reator de mistura perfeita para converter 95\% do reagente A.
  • Vazão volumétrica total de alimentação: Q=25\\ \mathrm{L/min}.
  • Concentração do reagente na alimentação: C_{A0}=2\\ \mathrm{mol/L}.
  • Conversão desejada: X=95\%=0,95.
  • Lei de velocidade (taxa de consumo do reagente, positiva): -r_{A}=\dfrac{0,1\,C_{A}}{1+0,5\,C_{A}} com unidades \mathrm{mol/(L\cdot min)}.
  • Observação importante: o reator é de mistura perfeita (CSTR), então a concentração no produto do reator é a concentração uniforme C_A usada na taxa.

Passo 2

Princípio do balanço molar (passo-teórico detalhado e amigo):
Num CSTR em estado estacionário, a variação de moles de A dentro do reator é zero. O balanço molar para A descreve que o que entra menos o que sai menos o que é consumido pela reação dentro do volume dá zero. Escrevemos isso assim:
0 = \text{entrada} - \text{saída} - \text{consumo por reação}.íçã
Agora traduzimos cada termo para fórmulas. A vazão molar de A que entra é Q\,C_{A0}. A vazão molar que sai é Q\,C_A. A velocidade de consumo por reação (total, mol/min) é a taxa volumétrica -r_A multiplicada pelo volume do reator V. Assim:
0 = Q\,C_{A0} - Q\,C_A - (-r_A)\,V.
Rearranjando para isolar V obtemos a fórmula de projeto do CSTR:
V = \dfrac{Q\,(C_{A0}-C_A)}{-r_A(C_A)}.
Explicação dos símbolos:
  • Q é a vazão volumétrica (L/min).
  • C_{A0} é a concentração de entrada de A (mol/L).
  • C_A é a concentração no reator/saída (mol/L).
  • -r_A(C_A) é a taxa de consumo volumétrica de A avaliada na concentração do reator (mol/(L·min)).
  • V será obtido em litros se usamos Q em L/min e -r_A em mol/(L·min).
Também precisamos relacionar C_A com a conversão X. Por definição de conversão:
X=\dfrac{C_{A0}-C_A}{C_{A0}} \quad\Rightarrow\quad C_A = C_{A0}(1-X).
Observação pedagógica: num CSTR usamos a concentração de saída (igual à concentração dentro) para avaliar a taxa -r_A. Isso é a diferença principal entre CSTR e reator em batelada ou fluxo pistonado.

Passo 3

Calcular a concentração no reator correspondente a X=0{,}95:
Usamos C_A = C_{A0}(1-X). Substituindo os valores (tudo em \mathrm{mol/L}):
C_A = 2\,(1-0{,}95)=2\cdot 0{,}05=0{,}1\\ \mathrm{mol/L}.

Passo 4

Avaliar a taxa de reação -r_A na concentração C_A=0{,}1\\ \mathrm{mol/L}. A lei dada é
-r_{A}=\dfrac{0{,}1\,C_A}{1+0{,}5\,C_A}.
Substituindo C_A=0{,}1:
-r_{A}=\dfrac{0{,}1\cdot 0{,}1}{1+0{,}5\cdot 0{,}1} =\dfrac{0{,}01}{1+0{,}05} =\dfrac{0{,}01}{1{,}05}.
Fazendo a divisão (mostrando passo a passo):
\dfrac{0{,}01}{1{,}05}=0{,}0095238095\\ \mathrm{mol/(L\cdot min)}.
Para evitar muitos dígitos, podemos manter -r_A \approx 0{,}0095238\\ \mathrm{mol/(L\cdot min)}.

Passo 5

Calcular a vazão molar consumida de A, que é Q\,(C_{A0}-C_A). Usando Q=25\\ \mathrm{L/min}, C_{A0}=2\\ \mathrm{mol/L} e C_A=0{,}1\\ \mathrm{mol/L}:
Q\,(C_{A0}-C_A)=25\,(2-0{,}1)=25\cdot 1{,}9=47{,}5\\ \mathrm{mol/min}.
Explicação: esse número é quanto de mols de A precisa ser convertido por minuto para atingir 95\% de conversão na vazão dada.

Passo 6

Calcular o volume V usando a fórmula do Passo 2:
V=\dfrac{Q\,(C_{A0}-C_A)}{-r_A(C_A)}=\dfrac{47{,}5}{0{,}0095238095}.
Agora a divisão:
V \approx 4990\\ \mathrm{L}.
Converter para metros cúbicos ( 1\\ \mathrm{m}^3=1000\\ \mathrm{L}):
V \approx \dfrac{4990}{1000}=4{,}99\\ \mathrm{m}^3\approx 5{,}0\\ \mathrm{m}^3.
Pequena conferência de unidades: numerador em mol/min, denominador em mol/(L·min) → resultado em L, convertendo para \mathrm{m}^3 ficou consistente.

Resposta

\approx 5{,}0\\ \mathrm{m}^3

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