Uma enzima denominada fumarase, obtida do músculo do coração de porco, catalisa a transformação do fumarato a L-malato. Os seguintes dados foram obtidos, em tampão fosfato 0,005 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1} e \mathrm{pH}=6,5, para a reação inversa:
Velocidade inicial (v) [ L-malato ] / \mathbf{~ m o l ~ L}^{-\mathbf{1}}
4,2 0,333 \times 10^{-3}
6,1 1,00 \times 10^{-3}
6,5 3,33 \times 10^{-3}
7,2 10,0 \times 10^{-3}
Todas as soluções têm a mesma concentração da enzima. Por regressão linear, obtenha uma expressão matemática de 1 / v versus 1 /[S] e determine o valor de K_{m}. O valor de V_{\text {max }} será obtido em unidades relativas, mas K_{m} estará em unidade de mols por litro.

Passo 1

O enunciado fornece velocidades iniciais v em unidades relativas e concentrações de substrato [S] em mol L^{-1} para a reação inversa da fumarase. O objetivo é usar a cinética de Michaelis–Menten e a representação de Lineweaver–Burk (gráfico de 1/v versus 1/[S]) para obter a equação da reta
\frac{1}{v} = m\,\frac{1}{[S]} + b
e, a partir disso, determinar K_{m} (em mol L^{-1}) sabendo que
m = \frac{K_{m}}{V_{\max}},\quad b = \frac{1}{V_{\max}}.

Passo 2

Montamos a tabela com x = 1/[S] e y = 1/v:
\begin{array}{c|c|c|c} [S]\;(\mathrm{M}) & v & x = \frac{1}{[S]}\;(\mathrm{L\,mol^{-1}}) & y = \frac{1}{v}\\hline 0,333\times10^{-3} & 4,2 & 3{,}003\times10^{3} & 0{,}2381\\\\ 1{,}00\times10^{-3} & 6,1 & 1{,}000\times10^{3} & 0{,}1639\\\\ 3,33\times10^{-3} & 6,5 & 3{,}003\times10^{2} & 0{,}1538\\\\ 10{,}0\times10^{-3} & 7,2 & 1{,}000\times10^{2} & 0{,}1389 \end{array}

Passo 3

Calculamos as somas necessárias para a regressão linear:
\begin{aligned} n &= 4,\\\ \sum x &= 3{,}003\times10^{3} + 1{,}000\times10^{3} + 3{,}003\times10^{2} + 1{,}000\times10^{2} = 4{,}403{,}3,\\\ \sum y &= 0{,}2381 + 0{,}1639 + 0{,}1538 + 0{,}1389 = 0{,}6947,\\\ \sum x\,y &= 938{,}6903,\quad \sum x^{2} = 1{0,}118\,189{,}09\times10^{6}. \end{aligned}
A inclinação m e o coeficiente linear b vêm de
m = \frac{n\sum x\,y - (\sum x)(\sum y)}{n\sum x^{2} - (\sum x)^{2}} \approx 3{,}30\times10^{-5},\quad b = \frac{\sum y - m\,\sum x}{n}\approx 0{,}13733.

Passo 4

Identificamos
b = \frac{1}{V_{\max}} \quad\Longrightarrow\quad V_{\max} = \frac{1}{b}\approx 7{,}28,
m = \frac{K_{m}}{V_{\max}} \quad\Longrightarrow\quad K_{m} = m\,V_{\max}\approx (3{,}30\times10^{-5})\times7{,}28 \approx 2{,}40\times10^{-4}\,\mathrm{mol\,L^{-1}}.

Resposta

A equação de Lineweaver–Burk é
\frac{1}{v} = 3{,}30\times10^{-5}\;\frac{1}{[S]} \;+\;0{,}13733
e o valor de K_{m} é
K_{m} \approx 2{,}40\times10^{-4}\,\mathrm{mol\,L^{-1}}.

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